Lösung Das Rätsel der Schatten Dreiecke

A) Skizze (Beschreibung)
Die Skizze zeigt zwei rechtwinklige Dreiecke nebeneinander: eines für Tom, eines für den Baum. Beide stehen auf derselben Bodenlinie. Die Sonnenstrahlen treffen beide im gleichen Winkel. Somit sind die Dreiecke gleich orientiert, aber unterschiedlich groß.
B) Begründung der Ähnlichkeit
Die Sonnenstrahlen sind parallel, daher haben beide Dreiecke den gleichen Sonnenwinkel. Beide haben außerdem einen rechten Winkel (Höhe steht senkrecht auf dem Boden). Zwei gleiche Winkel genügen für Ähnlichkeit nach dem Winkel-Winkel-Kriterium. Folglich sind die Dreiecke ähnlich.
C) Berechnung der Baumhöhe
Aus dem Ähnlichkeitsverhältnis folgt:
Baumhöhe / Baumschatten = Toms Größe / Toms Schatten.
Einsetzen: Baumhöhe = 8,5 × (1,6 / 2,0) = 8,5 × 0,8 = 6,8 m.
Antwort: Der Baum ist 6,8 Meter hoch.
D) Neuer Fall (Toms Schatten = 2,4 m)
Das Verhältnis bleibt gleich, daher gilt:
Baumhöhe_neu / 8,5 = 1,6 / 2,4.
Berechnung: 1,6 / 2,4 = 2/3.
Baumhöhe_neu = 8,5 × (2/3) = 17/3 ≈ 5,67 m.
Antwort: Der Baum wäre etwa 5,67 m hoch. Die Verhältnisse stimmen überein → die Dreiecke sind wieder ähnlich.
Hinweis
In der Realität würde sich die Schattenlänge nicht durch Toms Bewegung ändern, solange der Sonnenstand gleich bleibt. Diese Aufgabe ist ein mathematisches Gedankenexperiment, um Ähnlichkeitsverhältnisse zu üben.