BPE 7.1 Quadratwurzel, Kubikwurzel und reelle Zahlen

1  Wurzel aus Quadratzahlen  (5 min) 𝕃

Es ist a > 0. Vereinfache die Terme.

1. \(\sqrt{a^2}\)
2. \(\sqrt{4a^2}\)
3. \(\sqrt{\frac{9}{a^2}}\)
4. \(\sqrt{a^4}\)

2  Gemischte Aufgaben mit Wurzeln und Quadraten  (8 min) 𝕃

Berechne ohne Taschenrechner.

1. \(-\sqrt{19^2}\)
2. \(-(\sqrt{300})^2\)
3. \((-\sqrt{28})^2\)
4. \(\sqrt{(-13)^2}\)
5. \(\sqrt{(\frac{11}{17})^2}\)
6. \(\sqrt{0,17^2}\)
7. \(-\sqrt{b^2}\)

3  Vereinfachen von Termen mit Wurzeln I  (8 min) 𝕃

1. Berechne die Wurzeln und fasse dann zusammen.
   1. \(\sqrt{9}\cdot\sqrt{16}\)
   2. \(\sqrt{25}\cdot\sqrt{4}\)
   3. \(\sqrt{9}+\sqrt{16}\)
2. Fasse zusammen und ziehe dann die Wurzel.
   1. \(\sqrt{9\cdot 16}\)
   2. \(\sqrt{25\cdot 4}\)
   3. \(\sqrt{9+16}\)

4  Teilweises Wurzelziehen  (10 min) 𝕃

1. Faktorisiere den Radikanden so, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist, ziehe dann von diesem Teil die Wurzel und notiere das Ergebnis.

   Beispiel:

   \(\sqrt{243}=\sqrt{81\cdot 3}=\sqrt{81}\cdot\sqrt{3}=9 \cdot \sqrt{3}\) 

   1. \(\sqrt{44}\)
   2. \(\sqrt{75}\)
   3. \(\sqrt{63}\)
   4. \(\sqrt{98}\)
2. Faktorisiere den Radikanden so, dass einer der Faktoren eine Quadratzahl ist, ziehe dann von diesem Teil die Wurzel. Prüfe anschließend, ob der Radikand noch weitere Quadratzahlen enthält und wiederhole gegebenenfalls. Notiere das Ergebnis.

   Beispiel:

   \(\sqrt{2450}=\sqrt{25\cdot 98}=5 \cdot \sqrt{98}=5 \cdot \sqrt{49\cdot 2}=5 \cdot 7 \sqrt{2}=35 \cdot \sqrt{2}\) 

   1. \(\sqrt{300}\)
   2. \(\sqrt{882}\)
   3. \(\sqrt{2000}\)
   4. \(\sqrt{396}\)

5  Vereinfachen von Termen mit Wurzeln II  (5 min) 𝕃

Fasse soweit wie möglich zusammen.

1. \(5x+3x-0,5x\)
2. \(5\sqrt{5}+3\sqrt{5}-0,5\sqrt{5}\)
3. \(6a-7b+2a\)
4. \(6\sqrt{2}-7\sqrt{3}+2\sqrt{2}\)
5. \(-2\sqrt{4}+7\sqrt{4}-5\sqrt{4}\)

6  Vereinfachen von Termen mit Hilfe von teilweisem Wurzelziehen  (k.A.) 𝕃

Vereinfache, es gilt: (\(a, b, c \geq 0\))

1. \(\sqrt{12a^2}\)
2. \(\sqrt{27c}\)
3. \(-\sqrt{4b}+\sqrt{b}\)
4. \(\sqrt{12a^2}+a\cdot \sqrt{3}\)
5. \(\frac{\sqrt{4b^2}}{2}\)
6. \(\sqrt{\frac{b}{25}}\)
7. \(\sqrt{2a}+\sqrt{18a}\)
8. \(\sqrt{28c^2}-c\cdot \sqrt{7}\)

7  Terme vereinfachen  (5 min) 𝕃

Gib jeweils an, ob der Term richtig vereinfacht wurde.

1. \(\sqrt{5^2-4^2}=5-4\)
2. \(\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\cdot\sqrt{ab}=ab\)
3. \(\sqrt{\frac{1}{9}}\cdot\sqrt{9}=0\)
4. \(\sqrt{a}+\sqrt{a}=a\)

8  Wurzelterme berechnen  (5 min) 𝕃

Schreibe dir zu jeder Zahl eine überschlägige Dezimalzahl auf (z. B. durch Kopfrechnen, Näherung oder Vergleich mit bekannten Quadraten/Kubikzahlen). Ordne die Zahlen anschließend der Größe nach von klein nach groß.

9  Irrationale Zahlen  (5 min) 𝕃

1.  Ordne jede der folgenden Zahlen entweder den rationalen oder den irrationalen Zahlen zu.

   0,75,\(\sqrt{5}\),\(\pi\),\(\sqrt{16}\)

2. Formuliere in einem Satz, worin sich rationale und irrationale Zahlen unterscheiden.

10  Wurzelterm vereinfachen  (5 min) 𝕃

Begründe, dass die Gleichung stimmt.

 \(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2}\)

11  Begründung für irrationale Zahlen formulieren  (5 min) 𝕃

Gib ein Beispiel aus deinem Alltag an, bei dem eine irrationale Zahl eine Rolle spielt.
Begründe, warum irrationale Zahlen unverzichtbar sind.

12  Wurzelterm aufstellen  (5 min) 𝕃

Ein Würfel hat die Kantenlänge a. Stelle einen Term für die Länge der Raumdiagonalen auf.