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Zuletzt geändert von akukin am 2025/06/05 16:31
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1 __Lösung mit der pq-Formel:__
2
3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 &tx^2 - 2 = 0,5x + 1 \\
6 &tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \quad |\, :t \neq 0 \\
7 &x^2 - \frac{1}{2t}x - \frac{3}{t} = 0 \\
8 &x_{1/2} = \frac{1}{4t} \pm \sqrt{\frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t}}
9 \end{align*}
10 {{/formula}}
11
12 {{formula}}
13 \begin{align*}
14 D=0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\
15 D>0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\
16 D<0: \frac{1}{16t^2} + \frac{3}{t} &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante}
17 \end{align*}
18 {{/formula}}
19
20 Überprüfung für {{formula}}t = 0{{/formula}} nötig, da die obige Rechnung unter der Annahme {{formula}}t\neq 0{{/formula}} durchgeführt wurde:
21 Aus {{formula}}t>-\frac{1}{48}{{/formula}} folgt, dass bei {{formula}}t = 0{{/formula}} ein Schnittpunkt vorliegt. Allerdings handelt es sich nicht mehr um Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade, sondern um einen Schnittpunkt zweier Geraden.
22
23 __Lösung mit der abc-Formel(Mitternachtsformel):__
24
25 {{formula}}
26 \begin{align*}
27 &tx^2 - 0,5x - 3 = 0 \\
28 &x_{1/2} = \frac{-(-0,5) \pm \sqrt{(0,5)^2 - 4 \cdot t \cdot (-3)}}{2t} \\
29 &x_{1/2} = \frac{0,5 \pm \sqrt{0,25 + 12t}}{2t}
30 \end{align*}
31 {{/formula}}
32
33 {{formula}}
34 \begin{align*}
35 D=0: 0,25 + 12t &= 0 \iff t = -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Tangente} \\
36 D>0: 0,25 + 12t &> 0 \iff t > -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Sekante} \\
37 D<0: 0,25 + 12t &< 0 \iff t < -\frac{1}{48} \longrightarrow \text{Passante}
38 \end{align*}
39 {{/formula}}
40
41 \end{document}