Lösung Parabeln finden

(%class=abc%)

1. Für den Fall „keinen gemeinsamen Punkt“ bzw. „zwei Schnittpunkte“ kann man Parabeln wählen, die ihren Scheitel in P haben und nach oben, bzw. nach unten offen sind.

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Für den Fall „ein Berührpunkt“ kann man z.B. eine verschobene Normalparabel (Schablone) konstruieren.

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1. „Keinen gemeinsamen Punkt“: Es gibt unendlich viele Parabeln.

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„Ein Berührpunkt“: Es gibt zwei mögliche verschobene Normalparabeln. Lässt man einen Formfaktor zu, gibt es unendlich viele Möglichkeiten.

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„Zwei Schnittpunkte“: Es gibt unendlich viele Parabeln.

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1. (((„Keinen gemeinsamen Punkt“: z.B. {{formula}}y = (x – 1)^2 + 4;{{/formula}} //P// ist der Scheitel

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(Alternativ: {{formula}}y = x^2 + 3{{formula}}; wegen {{formula}}4 = 1^2 + 3{{/formula}} liegt //P// auf der Parabel.)

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Dass es keinen Schnittpunkt gibt, kann man durch Schneiden der Parabel und der Geraden mit der Gleichung {{formula}}y = x + 2{{/formula}} prüfen. Die zugehörige Gleichung besitzt keine Lösung.

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„Zwei Schnittpunkte“: z.B. {{formula}}y = - x² + 3 {{/formula}}

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Kontrolle wie oben durch Gleichsetzen. Es gibt zwei Lösungen.

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„Ein Berührpunkt“:

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Ansatz für verschobene Normalparabel {{formula}} y = x^2 + b x + c{{formula}}

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Parabel geht durch //P//: {{formula}}4 = 1 + b + c{{/formula}}, also {{formula}}c = 3 – b{{/formula}}

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Schneiden von Parabel und Gerade:

\begin{align*}

& x^2 + bx + 3 - b = x + 2 \\

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\Leftrightarrow & x^2 + (b - 1)x + 1 - b = 0 \\

24

\Leftrightarrow & x_{1,2} = \frac{1 - b \pm \sqrt{(b - 1)^2 - 4(1 - b)}}{2}

\end{align*}

Betrachtung der Diskriminante:

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{{formula}}(b-1)^2-4(1-b)= 0 \ \Leftrightarrow \ b = 1 \vee b = - 3{{/formula}}

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Für {{formula}}b = 1{{/formula}} ergibt sich {{formula}}c = 2{{/formula}} und damit die Parabel mit der Gleichung {{formula}}y = x^2 + x + 2{{/formula}}.

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Für {{formula}}b = - 3{{/formula}} ergibt sich {{formula}}c = 6{{/formula}} und damit die Parabel mit der Gleichung {{formula}}y = x^2 - 3 x + 6{{/formula}}.

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)))

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d) Hugo hat nicht Recht, denn die Tangente durch den Scheitel ist parallel zur x-Achse, die gegebene Gerade dagegen hat Steigung 1.

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