Zum Inhalt springen

Lösung Parabeln finden

Version 1.1 von akukin am 2025/06/04 21:27
  1. Für den Fall „keinen gemeinsamen Punkt“ bzw. „zwei Schnittpunkte“ kann man Parabeln wählen, die ihren Scheitel in P haben und nach oben, bzw. nach unten offen sind.
    Für den Fall „ein Berührpunkt“ kann man z.B. eine verschobene Normalparabel (Schablone) konstruieren.
  2. „Keinen gemeinsamen Punkt“: Es gibt unendlich viele Parabeln.
    „Ein Berührpunkt“: Es gibt zwei mögliche verschobene Normalparabeln. Lässt man einen Formfaktor zu, gibt es unendlich viele Möglichkeiten.
    „Zwei Schnittpunkte“: Es gibt unendlich viele Parabeln.

  3. „Keinen gemeinsamen Punkt“: z.B. y = (x – 1)^2 + 4; P ist der Scheitel
    (Alternativ: y = x^2 + 3{{formula}}; wegen {{formula}}4 = 1^2 + 3{{/formula}} liegt //P// auf der Parabel.) Dass es keinen Schnittpunkt gibt, kann man durch Schneiden der Parabel und der Geraden mit der Gleichung {{formula}}y = x + 2{{/formula}} prüfen. Die zugehörige Gleichung besitzt keine Lösung. „Zwei Schnittpunkte“: z.B. {{formula}}y = - x² + 3 {{/formula}} Kontrolle wie oben durch Gleichsetzen. Es gibt zwei Lösungen. „Ein Berührpunkt“: Ansatz für verschobene Normalparabel {{formula}} y = x^2 + b x + c{{formula}} Parabel geht durch //P//: {{formula}}4 = 1 + b + c{{/formula}}, also {{formula}}c = 3 – b{{/formula}} Schneiden von Parabel und Gerade: {{formula}} \begin{align*} & x^2 + bx + 3 - b = x + 2 \\ \Leftrightarrow & x^2 + (b - 1)x + 1 - b = 0 \\ \Leftrightarrow & x_{1,2} = \frac{1 - b \pm \sqrt{(b - 1)^2 - 4(1 - b)}}{2} \end{align*} {{/formula}} Betrachtung der Diskriminante: {{formula}}(b-1)^2-4(1-b)= 0 \ \Leftrightarrow \ b = 1 \vee b = - 3{{/formula}} Für {{formula}}b = 1{{/formula}} ergibt sich {{formula}}c = 2{{/formula}} und damit die Parabel mit der Gleichung {{formula}}y = x^2 + x + 2{{/formula}}. Für {{formula}}b = - 3{{/formula}} ergibt sich {{formula}}c = 6{{/formula}} und damit die Parabel mit der Gleichung {{formula}}y = x^2 - 3 x + 6{{/formula}}. ))) d) Hugo hat nicht Recht, denn die Tangente durch den Scheitel ist parallel zur x-Achse, die gegebene Gerade dagegen hat Steigung 1.