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Version 13.1 von Sarah Könings am 2025/11/18 08:11
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1 Gegeben sind die folgenden Lösungsmengen:
2
3 {{formula}}L=\mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}L=\emptyset{{/formula}}
4
5 (%class="abc"%)
6 1. Ermittle eine jeweils zur Lösungsmenge passende quadratische Ungleichung.
7 Im ersten Teil der Aufgabe sind die gesamten reellen Zahlen Teil der Lösungsmenge. Aus diesem Grund gibt es hier keine Grenzen. Dazu passende gezeichnete Parabeln schneiden nicht die x-Achse, können sie aber berühren. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:
8 Fall 1: Parabel liegt oberhalb der x-Achse oder berührt von oben die x-Achse, dann muss {{formula}} \geq 0 {{/formula}} gewählt werden.
9 Fall 2: Parabel liegt unterhalb der x-Achse oder berührt von unten die x-Achse, dann muss {{formula}} \leq 0 {{/formula}} gewählt werden.
10 Beispiel: {{formula}}x^2+4x+5 \geq 0{{/formula}}
11 Im zweiten Teil der Aufgabe ist die Lösungsmenge leer. Aus diesem Grund gibt es auch hier keine Grenzen. Dazu passende gezeichnete Parabeln schneiden ebenfalls nicht die x-Achse, können sie aber berühren. Dabei sind zwei Fälle zu unterscheiden:
12 Fall 1: Parabel liegt oberhalb der x-Achse oder berührt von oben die x-Achse, dann muss <0 gewählt werden.
13 Fall 2: Parabel liegt unterhalb der x-Achse oder berührt von unten die x-Achse, dann muss >0 gewählt werden.
14 Beispiel: {{formula}}x^2+4x+5<0{{/formula}}
15 1. Beschreibe, welche Besonderheit bei den vorliegenden Lösungsmengen zu beachten ist.
16 Die Besonderheit beider Lösungsmengen sind die fehlenden Grenzen.
17 1. Erkläre die graphische Bedeutung der Lösungsmengen.
18 Im unten folgenden Schaubild wird die Lösungsmenge der reellen Zahlen durch die rote Markierung veranschaulicht. Hat man also zum Beispiel die Ungleichung {{formula}}x^2-4x+5 \geq 0{{/formula}} so ist die Lösungsmenge die Menge der reellen Zahlen, da die gesamte Parabel oberhalb der x-Achse liegt und damit im gesamten Bereich größer oder gleich null ist.
19
20 [[image:A3c).png]]
21 Lautet die Ungleichung {{formula}}x^2-4x+5 \leq 0{{/formula}}, so ist die Lösungsmenge die leere Menge, da die Parabel komplett oberhalb der x-Achse verläuft.
22 [[image:A3c)leereMenge.png]]