BPE 9.2 Kreis und Kreisausschnitt

1  Kreisumfang berechnen  (6 min) 𝕃

Berechne den Umfang der abgebildeten Figuren.

2  Radius aus Umfang berechnen  (6 min) 𝕃

1. Berechne, welchen Radius ein Kreis besitzt, dessen Umfang 10 cm beträgt.
2. Ein Autoreifen rollt genau dreimal über den Boden und legt dabei eine Strecke von 5,65 m zurück. Berechne den Durchmesser des Reifens.
3. Um den Radius eines Kreises mit Umfang 100m zu berechnen, tippt Konstantin die unten abgebildete Rechnung in den Taschenrechner ein. Beschreibe den Fehler von Konstantin und erkläre, warum das Ergebnis falsch ist.
   

3  Reise um die Welt  (6 min) 𝕋  𝕃

Ein Airbus A380 fliegt in einer Reisehöhe von 12 km über der Erde (Durchmesser 12.756 km). Das Flugzeug fliegt mit einer durchschnittlichen Geschwindigkeit von 972 km/h. Niklas und Moritz beobachten das Flugzeug am Himmel und fragen sich, wie lange es wohl dauert, einmal um die komplette Erde zu fliegen. Moritz wettet, dass ein solcher Flug mindestens zwei Tage dauert.

1. Zeichne eine Skizze der Situation, in der ein Flugzeug einmal um die Erde fliegt. Markiere in deiner Skizze alle wichtigen Größen.
2. Überprüfe rechnerisch, ob Moritz Recht hat.

4  Seil um den Äquator  (12 min) 𝕋  𝕃

Angenommen ein Seil wird um den Äquator der Erde gespannt. Der Radius der Erde am Äquator beträgt 6378 km.

1. Berechne die Länge des Seils.
2. Das Seil wird nun um 1m verlängert und so gehalten, dass es überall den gleichen Abstand \(d_1\) zur Erdoberfläche hat.
     Überprüfe, ob es möglich ist, unter diesem angehobenen Seil deine Faust durchzustrecken.
3. Anstatt der Erde wird das Seil jetzt zunächst um eine Regentonne mit Durchmesser 50cm gespannt und anschließend wieder um einen Meter verlängert. Berechne in diesem Fall den Abstand \(d_2\), der entsteht, wenn das verlängerte Seil gleichmäßig angehoben wird.
4. Zeige, dass der Abstand \(d\) unabhängib vom Radius der Erde, bzw. der Regentonne ist.

5  Bestimmung von Pi  (6 min) 𝕃

Die Formel für den Kreisumfang ist dir bekannt, jedoch ist dir der Wert von \(\pi\) entfallen. Beschreibe wie du mit einem Blatt Papier und einem Maßband den Wert von \(\pi\) näherungsweise bestimmen könntest.

6  Kreisflächen berechnen  (8 min) 𝕃

a) Berechne den Flächeninhalt eines Kreises, der einen Radius von 20 cm besitzt.
b) Berechne die Flächeninhalte der rot markierten Flächen

c) Berechne die blau markierte Fläche.

7  Durchmesser aus Kreisfläche berechnen  (6 min) 𝕃

Eine kreisrunde Tischdecke hat eine Fläche von 1,32 m². Berechne den Durchmesser der Tischdecke.

8  Plätzchen  (6 min) 𝕃

Lisa hat Plätzchenteig vorbereitet. Laut Rezept genügt die Menge Teig für 20 runde Plätzchen mit einem Durchmesser von 5cm. Lisa benötigt allerdings 30 Plätzchen. Bestimme, welchen Durchmesser die Plätzchen haben müssen, damit Lisa mit dem Teig 30 Plätzchen backen kann. Die Plätzchen sollen genauso dick bleiben, wie vom Rezept angenommen.

9  Quadratische Kreise  (6 min) 𝕃

Die Abbildung zeigt mehrere Quadrate mit Kreisen, die alle die Seitenlänge 72 cm besitzen.

1. Berechne, wie groß die grün gefärbten Flächen sind und welchen Anteil sie an der Fläche des Quadrates haben.
2. Angenommen das Muster der Kreise wird nun fortgeführt. Zeige, dass der Anteil der grün markierten Fläche unabhängig von der Anzahl der eingezeichneten Kreise ist.

10  Pizzavergleich  (8 min) 𝕃

Die Abbildung zeigt zwei Pizza-Angebote.

"Ich greife natürlich zum Angebot mit den zwei Pizzen! Hier bekommt man für das gleiche Geld viel mehr Pizza."
Nimm begründet Stellung zu dieser Aussage.

11  Kreisausschnitte berechnen  (6 min) 𝕃

Berechne den Flächeninhalt des Kreisausschnitts und die Länge des Kreisbogens.

12  Mittelpunktswinkel berechnen  (4 min) 𝕃

Berechne den fehlenden Winkel α.

13  Mittelpunktswinkel anpassen  (12 min) 𝕋  𝕃

a) Bestimme, bei welchem Mittelpunktswinkel α die Länge des Kreisbogens identisch zum Radius r ist.
b) Bestimme, wie groß der Mittelpunktwinkel α sein muss, damit der blaue Kreisausschnit den gleichen Flächeninhalt wie die grüne Figur besitzt.