Wiki-Quellcode von Lösung Quadratische Kreise

Zuletzt geändert von nfahr am 2025/12/18 10:59

version	line-number	content
5.1	1	a) Der Kreis im ersten Quadrat hat den Radius {{formula}}r_1=\frac{1}{2}\cdot 72\ \text{cm}=36\ \text{cm}{{/formula}}, die vier Kreise im zweiten Quadrat haben die Radien {{formula}}r_2=\frac{1}{4}\cdot 72\ \text{cm}=18 \ \text{cm}{{/formula}} und die neun Kreise im dritten Quadrat die Radien {{formula}}r_3=\frac{1}{6}\cdot 72\ \text{cm}=12 \ \text{cm}{{/formula}}.
2.1	2	Die Quadrate haben alle den Flächeninhalt {{formula}}A_Q=(72\ \text{cm})^2=5184\ \text{cm}^2{{/formula}}.
5.1	3	i) Beim ersten Bild beträgt der Inhalt der grünen Fläche {{formula}}A_1=\pi\cdot r_1^2=1296\pi \ \text{cm}^2{{/formula}}. Damit ergibt sich ein Verhältnis von {{formula}}\frac{A_Q}{A_1}=\frac{4}{\pi}\approx 1,27{{/formula}}.
4.1	4	ii) Beim zweiten Bild beträgt der Inhalt der grünen Fläche {{formula}}A_2=4\cdot \pi\cdot r_2^2=1296\pi \ \text{cm}^2{{/formula}}. Damit ergibt sich ein Verhältnis von {{formula}}\frac{A_Q}{A_2}=\frac{4}{\pi}{{/formula}}.
5.1	5	iii) Beim dritten Bild beträgt der Inhalt der grünen Fläche {{formula}}A_3=6\cdot\pi\cdot r_3^2=1296\pi \ \text{cm}^2{{/formula}}. Damit ergibt sich ein Verhältnis von {{formula}}\frac{A_Q}{A_3}=\frac{4}{\pi}{{/formula}}.
8.1	6	b) Sei {{formula}}n{{/formula}} die Anzahl der Kreise in dem Quadrat und {{formula}}l{{/formula}} die Seitenlänge des Quadrates. Dann gilt für den Radius eines Kreises im Quadrat {{formula}}r=\frac{l}{2\sqrt{n}}{{/formula}} und somit für den Flächeninhalt der Kreise {{formula}}A_n=n\cdot\pi\cdot r^2=n\cdot \pi\cdot (\frac{l}{2\sqrt{n}})^2=\frac{\pi \cdot l^2}{4}{{/formula}}. Teilen wir das durch den Flächeninhalt des Quadrates {{formula}}A_Q=l^2{{/formula}}, so erhalten wir das Verhältnis {{formula}}\frac{A_n}{A_Q}=\frac{\frac{\pi\cdot l^2}{4}}{l^2}=\frac{\pi}{4}{{/formula}} oder {{formula}}\frac{A_Q}{A_n}=\frac{4}{\pi}{{/formula}}.