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| 1 | {{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 2 | [[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%. | ||
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| 4 | Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich) | ||
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| 6 | ,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],, | ||
| 7 | {{/aufgabe}} | ||
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| 9 | {{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 10 | Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}. | ||
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| 12 | Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt. | ||
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| 14 | Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert. | ||
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| 16 | [[image:x hoch minus 2.png]] | ||
| 17 | {{/aufgabe}} | ||
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| 19 | {{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 20 | [[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad. | ||
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| 22 | So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt. | ||
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| 24 | Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads. | ||
| 25 | {{/aufgabe}} | ||
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| 27 | {{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 28 | [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In //[0; π/2]// soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt. | ||
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| 30 | (% style="list-style: alphastyle" %) | ||
| 31 | 1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//. | ||
| 32 | 1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals | ||
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| 34 | {{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}} | ||
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| 36 | ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist. | ||
| 37 | ))) | ||
| 38 | 1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert. | ||
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| 40 | (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.) | ||
| 41 | {{/aufgabe}} | ||
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| 43 | {{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 44 | Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist. | ||
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| 46 | * Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall. | ||
| 47 | * Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind. | ||
| 48 | * Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge. | ||
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| 50 | Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat. | ||
| 51 | {{/aufgabe}} | ||
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| 53 | {{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 54 | //f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion. | ||
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| 56 | Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert: | ||
| 57 | Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend. | ||
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| 59 | Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können: | ||
| 60 | Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend. | ||
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| 62 | Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage: | ||
| 63 | Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt. | ||
| 64 | {{/aufgabe}} | ||
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| 66 | {{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 67 | Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist. | ||
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| 69 | Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet. | ||
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| 71 | Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer: | ||
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| 73 | * Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers. | ||
| 74 | * Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, … | ||
| 75 | * Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, … | ||
| 76 | * Gast 4… | ||
| 77 | * … | ||
| 78 | * Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100. | ||
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| 80 | Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist. | ||
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| 82 | (Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.) | ||
| 83 | {{/aufgabe}} | ||
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| 85 | {{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" quelle="Andreas Dinh" cc="BY-SA"}} | ||
| 86 | [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde. | ||
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| 88 | Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken. | ||
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| 90 | Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden. | ||
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| 92 | Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann. | ||
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| 94 | ,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],, | ||
| 95 | {{/aufgabe}} |