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Version 96.1 von Holger Engels am 2023/11/23 14:55

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1 {{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="II" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
2 [[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
3
4 Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
5
6 Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
7
8 * Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
9 * Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
10 * Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
11 * Gast 4…
12 * …
13 * Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
14
15 Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
16
17 (Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind. (30min, AB II für Bonus-Aufgabe))
18
19 (% style="text-align: right" %)
20 ,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
21 {{/aufgabe}}
22
23 {{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
24 [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
25
26 Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
27
28 Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
29
30 Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
31
32 (% style="text-align: right" %)
33 ,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
34 {{/aufgabe}}
35
36 {{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" zeit="30" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
37 Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
38
39 In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
40
41 **Teil 1**
42 Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
43 Wer von den beiden ist was?
44
45 **Teil 2**
46 Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
47 Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
48 Wer von den beiden ist was?
49
50 **Teil 3**
51 //Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
52
53 Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
54 Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
55 Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
56
57 Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
58 {{/aufgabe}}
59
60 {{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
61 Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
62 Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
63
64 Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
65
66 [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
67
68 Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
69
70 Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
71
72 {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
73
74 (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
75
76 //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
77 {{/aufgabe}}
78
79
80
81 {{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
82 Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
83 übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
84 das Tal.
85 Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
86
87 Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
88 an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
89 {{/aufgabe}}
90
91 {{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
92 [[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
93 In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
94 Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
95 kleineren Quadrates dar.
96
97 In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
98 der beiden Quadrate zueinander?
99 {{/aufgabe}}
100
101
102
103 {{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
104 [[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
105
106 Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
107 zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
108 Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
109 Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
110 Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
111 Quadrate, die immer kleiner werden.
112
113 Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
114 {{/aufgabe}}
115
116 {{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
117 [[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
118 Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
119 Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
120 Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
121 Blättchen? Begründe.
122 {{/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
125 [[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
126 Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
127
128 Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
129 {{/aufgabe}}
130
131 {{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
132 Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
133
134 Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
135 {{/aufgabe}}
136
137 {{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
138 In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
139
140 Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
141 [[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
142 {{/aufgabe}}
143
144 {{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
145 Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
146 Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
147
148 Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
149
150 Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
151 {{/aufgabe}}
152
153 {{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
154 Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
155 {{/aufgabe}}
156
157
158 {{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
159 Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
160 sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
161 [[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
162
163 {{lehrende}}
164 **Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
165 Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
166
167 **Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
168 Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
169 **Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
170 **Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
171 **Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
172 Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
173 die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
174 {{/lehrende}}
175 {{/aufgabe}}
176
177 {{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
178 „Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
179
180 {{lehrende}}
181 **Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
182 {{/lehrende}}
183
184 Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
185 [[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
186
187 Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
188 {{/aufgabe}}
189
190 {{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
191
192 {{lehrende}}
193 **Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
194
195 **Aufgabe 1**
196
197 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
198
199 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
200
201 Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
202
203 **Aufgabe 2**
204
205 Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
206
207 **Aufgabe 3**
208
209 Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
210 Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
211
212 **Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
213
214 **Aufgabe 1.1**
215 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
216 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
217 a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
218 b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
219
220 Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
221
222 **Aufgabe 1.2**
223
224 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
225 {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
226 Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
227 {{/lehrende}}
228
229 {{/aufgabe}}