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Wiki-Quellcode von Pool

Version 97.1 von Holger Engels am 2023/11/24 09:57
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1 {{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" zeit="30" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
3
4 In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
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6 **Teil 1**
7 Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
8 Wer von den beiden ist was?
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10 **Teil 2**
11 Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
12 Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
13 Wer von den beiden ist was?
14
15 **Teil 3**
16 //Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
17
18 Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
19 Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
20 Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
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22 Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
23 {{/aufgabe}}
24
25 {{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
26 Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
27 Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
28
29 Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
30
31 [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
32
33 Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
34
35 Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
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37 {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
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39 (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
40
41 //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
42 {{/aufgabe}}
43
44
45 {{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
46 Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
47
48 Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
49 {{/aufgabe}}
50
51 {{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
52 In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
53
54 Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
55 [[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
56 {{/aufgabe}}
57
58 {{aufgabe id="Pilot" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
59 Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
60 Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
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62 Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
63
64 Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
65 {{/aufgabe}}
66
67 {{aufgabe id="Aufleiten" afb="III" Kompetenzen="K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="15"}}
68 Im Unterricht eines J2-Kurses soll die Funktion {{formula}}f(x)=\frac{1}{2x}{{/formula}} aufgeleitet werden. Johann rechnet mit der Kettenregel der Aufleitung wie folgt: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|2x|){{/formula}}. Johannes mag die Kettenregel nicht und formt den Term von //f// zunächst um: {{formula}}f(x)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}{{/formula}}, denn danach wird die Aufleitung ganz einfach: {{formula}}F(x)=\frac{1}{2}\ln(|x|){{/formula}}. Die beiden geraten in eine Diskussion darüber, welche Lösung richtig ist. Überprüfe dies.
69 {{/aufgabe}}
70
71
72 {{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
73 Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
74 sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
75 [[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
76
77 {{lehrende}}
78 **Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
79 Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
80
81 **Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
82 Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
83 **Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
84 **Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
85 **Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
86 Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
87 die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
88 {{/lehrende}}
89 {{/aufgabe}}
90
91 {{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
92 „Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
93
94 {{lehrende}}
95 **Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
96 {{/lehrende}}
97
98 Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
99 [[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
100
101 Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
102 {{/aufgabe}}
103
104 {{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
105
106 {{lehrende}}
107 **Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
108
109 **Aufgabe 1**
110
111 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
112
113 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
114
115 Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
116
117 **Aufgabe 2**
118
119 Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
120
121 **Aufgabe 3**
122
123 Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
124 Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
125
126 **Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
127
128 **Aufgabe 1.1**
129 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
130 {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
131 a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
132 b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
133
134 Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
135
136 **Aufgabe 1.2**
137
138 Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
139 {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
140 Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
141 {{/lehrende}}
142
143 {{/aufgabe}}