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Aufgabe 1  Die Rätsel um Johannes und Wilhelm

Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.

In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.

Teil 1
Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 2
Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
Wer von den beiden ist was?

Teil 3
Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.

Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?

Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.

#problemlösen

Aufgabe 2  L’Hospital

Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion f mit  „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion g mit .
Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten  -Wert  ist  für alle .

Betrachtet man z. B. die Funktionen  und , so scheint dies nicht der Fall zu sein (vgl. Abbildung).

Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.

Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen f und g Folgendes besagt:

(Die Regel setzt man ein, wenn für   Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen  oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen   gehen.)

Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für  und für .

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Aufgabe 3  Kreismittelpunkt

Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?

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Aufgabe 4  Pilot

Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.

Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.

Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt. 

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Aufgabe 5  Gaußsche Summenformel

Die Summe der ersten n natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + n kann man mit der
sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.

Aufgabe 6  Nichomachus

„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“

Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
 
 
Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.

Aufgabe 7  Gemeinsame Tangenten