Lösung Funktionsschar Graph

Zuletzt geändert von akukin am 2024/10/02 20:14

Teilaufgabe 1

Erwartungshorizont

Wegen $e^{a\cdot x}>0$ sind die Funktionswerte $x\cdot e^{a\cdot x}$ von f_a

für negative x-Werte ebenfalls negativ.

Erläuterung der Lösung

Für

ist der erste Faktor des Funktionsterms

logischerweise negativ. Der zweite Faktor ist jedoch ein Exponentialterm, und für Exponentialterme gilt, dass sie immer positive Werte annehmen.
Ein Produkt aus einem negativen Faktor und einem positiven Faktor ist selbst negativ. Folglich verläuft der Graph links von der y-Achse unterhalb der x-Achse.

Teilaufgabe 2

Erwartungshorizont

Wegen $\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}{f_a\left(x\right)}=+\infty$ für a>0

ist die Abbildung 1 aufgrund des Fehlens weiterer Extrempunkte ausgeschlossen.

Erläuterung der Lösung

Für ein positives

geht $x\cdot e^{a\cdot x}$ für $x\rightarrow+\infty$ selbst gegen unendlich, da beide Faktoren beliebig groß werden.
Für $x\rightarrow-\infty$ sieht die Sache jedoch komplizierter aus, denn

geht gegen negativ unendlich, aber $e^{a\cdot x}$ geht gegen null. Da in solchen Situationen jedoch der Exponentialterm „gewinnt“, geht der gesamte Funktionsterm gegen null.
Nur der Graph in Abbildung 2 zeigt dieses Verhalten für $x\rightarrow+\infty$ und $x\rightarrow-\infty$ .

Hier sind die Graphen für $a\in\left\{0,1;0,2;0,3;\ldots;1,9;2\right\}$ abgebildet.