Lösung Verschiebung durch Ableiten

Erwartungshorizont: 
\(f(x) = e^{2x} \ ; \quad f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}\)

Erzeugung des Graphen von \(f^{(100)}\) durch Verschiebung des Graphen von \(f\):
\(f(x-c) = f^{(100)}(x) \Leftrightarrow e^{2x} \cdot e^{-2c} = 2^{100} \cdot e^{2x} \Leftrightarrow e^{-2c} = 2^{100} \Leftrightarrow c = -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right)\)

Erläuterung der Lösung: 
Es gilt: \(f^\prime(x)=2\cdot e^{2x}\)

Wir bestimmen zunächst die Ausgangsfunktion. Dazu bilden wir eine Stammfunktion (die „Aufleitung“): \(f(x) = e^{2x}\).

Wir leiten die Funktion nun weiter ab, um das Muster zu erkennen:
\(f''(x) = 2\cdot 2\cdot e^{2x} = 2^2 \cdot e^{2x}\)
\(f'''(x) = 2 \cdot 2^2 \cdot e^{2x} = 2^3 \cdot e^{2x}\)
Daraus ergibt sich allgemein \(f^{(n)}(x) = 2^n \cdot e^{2x}\). Für die 100. Ableitung gilt somit: \(f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}\).

Nun soll sich der Graph der hundertsten Ableitungsfunktion \(f^{(100)}\) durch Verschiebung des Graphen von \(f\) um den Wert \(c\) in x-Richtung erzeugen lassen. Das heißt, es gilt die Bedingung \(f(x-c) = f^{(100)}(x)\). Umstellen nach \(c\) liefert:
\(\begin{align*} && f(x-c) &= f^{(100)}(x) \\ &\Leftrightarrow & e^{2(x-c)} &= 2^{100} \cdot e^{2x} \\ &\Leftrightarrow & e^{2x} \cdot e^{-2c} &= 2^{100} \cdot e^{2x} &&| : e^{2x} \\ &\Leftrightarrow & e^{-2c} &= 2^{100} &&| \ln() \\ &\Leftrightarrow & -2c &= \ln\left(2^{100}\right) &&| : (-2) \\ &\Leftrightarrow & c &= -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right) \end{align*}\)

Somit muss der Graph von \(f\) um \(\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right)\) Einheiten in negative x-Richtung (das heißt nach links) verschoben werden.