Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von akukin am 2026/07/29 16:30
Verstecke letzte Bearbeiter
Anna Kukin 1.1 1 **Erwartungshorizont: **
2 {{formula}}f(x) = e^{2x} \ ; \quad f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}{{/formula}}
3
4 Erzeugung des Graphen von {{formula}}f^{(100)}{{/formula}} durch Verschiebung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}}:
5 {{formula}}f(x-c) = f^{(100)}(x) \Leftrightarrow e^{2x} \cdot e^{-2c} = 2^{100} \cdot e^{2x} \Leftrightarrow e^{-2c} = 2^{100} \Leftrightarrow c = -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right){{/formula}}
6
7
8 **Erläuterung der Lösung: **
9 Es gilt: {{formula}}f^\prime(x)=2\cdot e^{2x}{{/formula}}
10
Anna Kukin 2.1 11 Wir bestimmen zunächst die Ausgangsfunktion. Dazu bilden wir eine Stammfunktion (die „Aufleitung“): {{formula}}f(x) = e^{2x}{{/formula}}.
Anna Kukin 1.1 12
13
Anna Kukin 2.1 14 Wir leiten die Funktion nun weiter ab, um das Muster zu erkennen:
Anna Kukin 1.1 15 {{formula}}f''(x) = 2\cdot 2\cdot e^{2x} = 2^2 \cdot e^{2x}{{/formula}}
16 {{formula}}f'''(x) = 2 \cdot 2^2 \cdot e^{2x} = 2^3 \cdot e^{2x}{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 17 Daraus ergibt sich allgemein {{formula}}f^{(n)}(x) = 2^n \cdot e^{2x}{{/formula}}. Für die 100. Ableitung gilt somit: {{formula}}f^{(100)}(x) = 2^{100} \cdot e^{2x}{{/formula}}.
Anna Kukin 1.1 18
Anna Kukin 2.1 19 Nun soll sich der Graph der hundertsten Ableitungsfunktion {{formula}}f^{(100)}{{/formula}} durch Verschiebung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} um den Wert {{formula}}c{{/formula}} in x-Richtung erzeugen lassen. Das heißt, es gilt die Bedingung {{formula}}f(x-c) = f^{(100)}(x){{/formula}}. Umstellen nach {{formula}}c{{/formula}} liefert:
Anna Kukin 1.1 20 {{formula}}
21 \begin{align*}
Anna Kukin 2.1 22 && f(x-c) &= f^{(100)}(x) \\
23 &\Leftrightarrow & e^{2(x-c)} &= 2^{100} \cdot e^{2x} \\
24 &\Leftrightarrow & e^{2x} \cdot e^{-2c} &= 2^{100} \cdot e^{2x} &&| : e^{2x} \\
25 &\Leftrightarrow & e^{-2c} &= 2^{100} &&| \ln() \\
26 &\Leftrightarrow & -2c &= \ln\left(2^{100}\right) &&| : (-2) \\
27 &\Leftrightarrow & c &= -\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right)
Anna Kukin 1.1 28 \end{align*}
29 {{/formula}}
Anna Kukin 2.1 30
31 Somit muss der Graph von {{formula}}f{{/formula}} um {{formula}}\frac{1}{2} \cdot \ln\left(2^{100}\right){{/formula}} Einheiten in negative x-Richtung (das heißt nach links) verschoben werden.