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Wiki-Quellcode von Lösung Ebbe und Flut

Zuletzt geändert von akukin am 2026/08/07 17:40
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Anna Kukin 1.1 1 (%class=abc%)
Anna Kukin 2.1 2 1. (((Die Flut tritt dann auf, wenn der Wasserstand am höchsten ist, das heißt wenn die Kosinusfunktion ihr Maximum annimmt. Maximal wird die Kosinusfunktion, wenn das Argument ein Vielfaches von {{formula}}2\pi{{/formula}} ist.
Anna Kukin 1.1 3 Das heißt, es muss gelten
Anna Kukin 2.1 4 {{formula}}\frac{\pi}{6}t=k\cdot 2\pi{{/formula}} mit {{formula}}k\in\mathbb{Z}{{/formula}}.
5 Umgestellt nach {{formula}}t{{/formula}} ergibt sich {{formula}}t=k\cdot 2\pi\cdot \frac{6}{\pi}=12\cdot k{{/formula}}.
Anna Kukin 1.1 6
Anna Kukin 2.1 7 Einsetzen verschiedener Werte für {{formula}}k{{/formula}} ergibt:
8 {{formula}}k=0: \ t=0 \ \rightarrow \ \text{0 Uhr}{{/formula}}
Anna Kukin 4.1 9 {{formula}}k=1: \ t=12 \ \rightarrow \ \text{12 Uhr}{{/formula}}
10 {{formula}}k=2: \ t=24 \ \rightarrow \ \text{24 Uhr bzw. 0 Uhr}{{/formula}}
Anna Kukin 2.1 11 Die Flut tritt somit täglich um 0 Uhr und um 12 Uhr auf, also alle 12 Stunden.)))
12 1. (((Das Wasser fließt an den Wendestellen der Funktion am schnellsten, da an den Wendestellen die größte Steigung vorliegt. Wir betrachten dabei {{formula}}t \in [0;24]{{/formula}}.
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Anna Kukin 4.1 14 Bei einer trigonometrischen Funktion liegen die Wendestellen genau zwischen den Extremstellen. Aus a) wissen wir, dass die Maximalstellen bei {{formula}}t = 0, t=12{{/formula}} und {{formula}}t = 24{{/formula}} liegen, also liegen die Minimalstellen genau dazwischen bei {{formula}}t = 6{{/formula}} und {{formula}}t = 18{{/formula}}.
Anna Kukin 2.1 15 Die Wendestellen liegen wiederum genau zwischen den Extremstellen, das heißt bei {{formula}}t=3, \ t=9, \ t=15{{/formula}} und {{formula}}t=21{{/formula}}.
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18 Alternativer Lösungsweg:
Anna Kukin 3.1 19 Wir bilden die ersten beiden Ableitungen mit Hilfe der Kettenregel:
Anna Kukin 2.1 20 {{formula}}f'(t) = -\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right){{/formula}}
21 {{formula}}f''(t) = -\frac{\pi^2}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right){{/formula}}
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23 Setzt man die zweite Ableitung gleich null, erhält man:
24 {{formula}}-\frac{\pi^2}{12} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \cos\left(\frac{\pi}{6}t\right) = 0{{/formula}}
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26 Die Kosinusfunktion wird null, wenn das Argument ein ungerades Vielfaches von {{formula}}\frac{\pi}{2}{{/formula}} ist. Somit muss gelten:
27 {{formula}}\frac{\pi}{6}t = \frac{\pi}{2} + k \cdot \pi{{/formula}}
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29 Multipliziert man die Gleichung mit {{formula}}\frac{6}{\pi}{{/formula}}, ergibt sich nach {{formula}}t{{/formula}} aufgelöst:
30 {{formula}}t = 3 + 6 \cdot k{{/formula}}
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32 Für das betrachtete Intervall {{formula}}t \in [0;24]{{/formula}} ergeben sich durch Einsetzen der ganzen Zahlen {{formula}}k = 0, 1, 2, 3{{/formula}} die Zeitpunkte {{formula}}t=3, \ t=9, \ t=15{{/formula}} und {{formula}}t=21{{/formula}}.
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34 Die dritte Ableitung lautet {{formula}}f'''(t) = \frac{\pi^3}{72} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right){{/formula}}. An den gefundenen Stellen gilt {{formula}}f'''(t) \neq 0{{/formula}}.
35 Somit liegen bei {{formula}}t=3, \ t=9, \ t=15{{/formula}} und {{formula}}t=21{{/formula}} Wendestellen vor und das Wasser fließt an den Zeitpunkten am schnellsten.)))
Anna Kukin 3.1 36 1. (((Die Änderungsrate der Meereshöhe wird durch die erste Ableitungsfunktion beschrieben, das heißt durch
37 {{formula}}f'(t) = -\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right){{/formula}}.
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39 Das Wasser steigt an, wenn die Änderungsrate positiv ist. Es muss also gelten: {{formula}}-\frac{\pi}{2} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{6}t\right) > 0{{/formula}} und somit
40 {{formula}}\sin\left(\frac{\pi}{6} t\right) < 0{{/formula}} (Da der Vorfaktor {{formula}}-\frac{\pi}{2}{{/formula}} negativ ist, muss der Sinusterm selbst negativ sein, damit das Produkt insgesamt positiv wird).
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Anna Kukin 4.1 42 Der Sinusterm wird in den Intervallen {{formula}}[6; 12]{{/formula}} und {{formula}}[18; 24]{{/formula}} negativ. Das Wasser steigt also zwischen 6 Uhr und 12 Uhr sowie 18 Uhr und 24 Uhr an.
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