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Version 1.1 von akukin am 2025/01/27 23:24
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1 {{aufgabe id="Lineare Algebra" afb="" kompetenzen="" quelle="Abitur 2024" zeit="75"}}
2 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(0|3|0){{/formula}} und {{formula}}C(2|-1|4){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}} mit
3 {{formula}}h: \vec{x}= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2 \end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2 \end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 Die Gerade {{formula}}g{{/formula}} verläuft durch die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
5
6 (% class="abc" %)
7 1. Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen. **[4 BE]**
8 1. Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}. **[3 BE]**
9 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
10 1. Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
11 Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar. **[3 BE]**
12
13 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}} mit Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}}.
14 Dieses Quadrat {{formula}}ABCD{{/formula}} ist die Grundfläche einer geraden Pyramide, d.h. der Verbindungsvektor von {{formula}}M{{/formula}} und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.
15
16 (% class="abc" start="4" %)
17 1. Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
18 Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}. **[5 BE]**
19 1. Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat. **[3 BE]**
20
21 Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} hat die Spitze {{formula}}R{{/formula}} und wird aus der {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
22 Der Schattenpunkt der Spitze {{formula}}R{{/formula}} ist {{formula}}R^\prime(3|3|-6){{/formula}}.
23 (% class="abc" start="6" %)
24 1. Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
25 Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}. **[7 BE]**
26 {{/aufgabe}}