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Zuletzt geändert von akukin am 2025/02/13 21:17
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1 {{abiaufgabe id="Lineare Algebra" bes="25"}}
2 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(0|3|0){{/formula}} und {{formula}}C(2|-1|4){{/formula}} sowie die Gerade {{formula}}h{{/formula}} mit
3 {{formula}}h: \vec{x}= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2 \end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2 \end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 Die Gerade {{formula}}g{{/formula}} verläuft durch die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
5
6 (% class="abc" %)
7 1. {{be}}4{{/be}} Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
8 1. {{be}}3{{/be}} Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
9 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
10 1. {{be}}3{{/be}} Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
11 Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
12
13 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} sind gegenüberliegende Eckpunkte eines in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats {{formula}}ABCD{{/formula}} mit Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}}.
14 Dieses Quadrat {{formula}}ABCD{{/formula}} ist die Grundfläche einer geraden Pyramide, d.h. der Verbindungsvektor von {{formula}}M{{/formula}} und der Spitze der Pyramide ist orthogonal zur Grundfläche.
15
16 (% class="abc" start="4" %)
17 1. {{be}}5{{/be}} Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
18 Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
19 1. {{be}}3{{/be}} Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
20
21 Eine weitere gerade Pyramide mit der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} hat die Spitze {{formula}}R{{/formula}} und wird aus der {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung beleuchtet. Es entsteht ein Schatten in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
22 Der Schattenpunkt der Spitze {{formula}}R{{/formula}} ist {{formula}}R^\prime(3|3|-6){{/formula}}.
23 (% class="abc" start="6" %)
24 1. {{be}}7{{/be}} Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
25 Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
26 {{/abiaufgabe}}
27 (%class="border slim"%)
28 |=(%rowspan=2%)Aufgabe|=(%rowspan=2%)BE|=(%colspan=6%)Allgemeine mathematische Kompetenzen|=(%colspan=3%)Anforderungsbereich
29 |=K1|=K2|=K3|=K4|=K5|=K6|=I|=II|=III
30 |a|4|II| | |I|II | ||X|
31 |b|3| | | |I |I | |X||
32 |c|3| | | |I |I ||X||
33 |d|5| II| | |II |II |II ||X|
34 |e|3| | | |II |II | ||X|
35 |f|7|III|III |II |II | |II |||X