Lösung Lineare Algebra

=== Teilaufgabe a) ===

{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}

4

5

{{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.

//Aufgabenstellung//

Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.

//Lösung//

Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.

17

18

{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}

19

20

{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}

21

22

Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.

23

24

{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}

25

26

Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:

\left\{

\begin{aligned}

0 + 1s &= 5 + 3r \\

3 - 2s &= -3 - 4r \\

0 + 2s &= 2 + 2r

\end{aligned}

\right\}

\Leftrightarrow

\left\{

\begin{aligned}

s - 3r &= 5 \\

-2s + 4r &= -6 \\

2s - 2r &= 2

\end{aligned}

\right\}

\Leftrightarrow

r = -2 \land s = -1

Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.

=== Teilaufgabe b) ===

53

54

Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}

55

56

Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.

64

65

//(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//

//Lösung//

Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.

70

71

Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.

72

73

Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}

74

75

Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.

76

77

{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}

78

79

Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.

80

81

{{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}

82

83

{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}

84

85

Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.

86

87

{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}

88

89

90

=== Teilaufgabe c) ===

91

92

Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}

93

94

Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}

95

[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

//Aufgabenstellung//

Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.

103

104

Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.

//Lösung//

Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.

109

Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.

Spurpunkte:

{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}

114

115

{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}

116

117

{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}

118

Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.

119

[[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

120

121

122

=== Teilaufgabe d) ===

123

124

Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}

125

126

{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}

127

128

Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.

129

130

Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.

//Aufgabenstellung//

Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.

138

139

Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.

//Lösung//

Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.

144

145

{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}

146

147

Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.

148

149

Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss |(AB) ⃗ |=|(BC) ⃗ | gelten.

150

151

{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}

152

153

{{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}

154

155

Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.

156

157

Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).

158

159

{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}

160

161

Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.

162

163

164

=== Teilaufgabe e) ===

165

166

Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}

167

168

Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}

169

170

Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.

//Aufgabenstellung//

Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.

//Lösung//

Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)

182

183

Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}

184

185

Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.

186

187

Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.

188

189

Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}

190

191

Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.

192

193

Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.

194

195

{{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}

196

197

Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.

198

199

200

=== Teilaufgabe f) ===

201

202

Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.

203

204

{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}

205

206

{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.

//Aufgabenstellung//

Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.

214

215

Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.

//Lösung//

Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.

220

221

Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.

222

223

Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).

224

225

Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:

226

227

{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}

228

229

{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.

230

231

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		4	<br>
		5	{{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1\|5\|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
		6	{{/detail}}
		7
		8
		9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		10	//Aufgabenstellung//
		11	<br><p>
		12	Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
		13	</p>
		14	//Lösung//
		15	<br>
		16	Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
		17	<br>
		18	{{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
		19	<br>
		20	{{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		21	<br>
		22	Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
		23	<br>
		24	{{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
		25	<br>
		26	Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
		27
		28	{{formula}}
		29	\left\{
		30	\begin{aligned}
		31	0 + 1s &= 5 + 3r \\
		32	3 - 2s &= -3 - 4r \\
		33	0 + 2s &= 2 + 2r
		34	\end{aligned}
		35	\right\}
		36	\Leftrightarrow
		37	\left\{
		38	\begin{aligned}
		39	s - 3r &= 5 \\
		40	-2s + 4r &= -6 \\
		41	2s - 2r &= 2
		42	\end{aligned}
		43	\right\}
		44	\Leftrightarrow
		45	r = -2 \land s = -1
		46	{{/formula}}
		47
		48	Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
		49
		50	{{/detail}}
		51
		52	=== Teilaufgabe b) ===
		53	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		54	Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
		55	<br>
		56	Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
		57	{{/detail}}
		58
		59
		60	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		61	//Aufgabenstellung//
		62	<br><p>
		63	Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
		64	<br>
		65	//(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
		66	</p>
		67	//Lösung//
		68	<br>
		69	Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
		70	<br>
		71	Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
		72	<br>
		73	Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
		74	<br><p>
		75	Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
		76	</p>
		77	{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
		78	<br>
		79	Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
		80	<br>
		81	{{formula}}A(0\|3\|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
		82	<br>
		83	{{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
		84	<br>
		85	Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
		86	<br>
		87	{{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
		88	{{/detail}}
		89
		90	=== Teilaufgabe c) ===
		91	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		92	Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3\|0\|0){{/formula}}
		93	<br>
		94	Analog: {{formula}}S_2 (0\|3\|0), \ S_3 (0\|0\|6){{/formula}}
		95	[[image:LösungB3.2.png\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		96	{{/detail}}
		97
		98
		99	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		100	//Aufgabenstellung//
		101	<br><p>
		102	Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
		103	<br>
		104	Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
		105	</p>
		106	//Lösung//
		107	<br>
		108	Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
		109	Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
		110	<br>
		111	Spurpunkte:
		112	<br>
		113	{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3\|0\|0){{/formula}}
		114	<br>
		115	{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0\|3\|0){{/formula}}
		116	<br>
		117	{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0\|0\|6){{/formula}}
		118	Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
		119	[[image:LösungB3.2.png\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		120	{{/detail}}
		121
		122	=== Teilaufgabe d) ===
		123	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		124	Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
		125	<br>
		126	{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ \|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{18}{{/formula}}
		127	<br>
		128	Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
		129	<br>
		130	Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3\|0\|0){{/formula}}.
		131	{{/detail}}
		132
		133
		134	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		135	//Aufgabenstellung//
		136	<br><p>
		137	Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1\|2\|4){{/formula}} hat.
		138	<br>
		139	Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
		140	</p>
		141	//Lösung//
		142	<br>
		143	Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1\|2\|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
		144	<br>
		145	{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}
		146	<br><p>
		147	Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
		148	</p>
		149	Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1\|2\|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss \|(AB) ⃗ \|=\|(BC) ⃗ \| gelten.
		150	<br>
		151	{{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
		152	<br>
		153	{{formula}}\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ \|\overrightarrow{BC}\|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
		154	<br><p>
		155	Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
		156	</p>
		157	Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
		158	<br>
		159	{{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
		160	<br>
		161	Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3\|0\|0){{/formula}}.
		162	{{/detail}}
		163
		164	=== Teilaufgabe e) ===
		165	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		166	Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1\|1\|2){{/formula}}
		167	<br>
		168	Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}\|\vec{n}\|=3{{/formula}}
		169	<br>
		170	Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9\|9\|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7\|-7\|-2){{/formula}}.
		171	{{/detail}}
		172
		173
		174	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		175	//Aufgabenstellung//
		176	<br><p>
		177	Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
		178	</p>
		179	//Lösung//
		180	<br>
		181	Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
		182	<br>
		183	Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1\|1\|2){{/formula}}
		184	<br>
		185	Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
		186	<br>
		187	Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
		188	<br>
		189	Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
		190	<br>
		191	Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
		192	<br>
		193	Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
		194	<br>
		195	{{formula}}\|\vec{n}\|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
		196	<br>
		197	Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9\|9\|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7\|-7\|-2){{/formula}}.
		198	{{/detail}}
		199
		200	=== Teilaufgabe f) ===
		201	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		202	Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
		203	<br>
		204	{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
		205	<br>
		206	{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3\|3\|3){{/formula}}.
		207	{{/detail}}
		208
		209
		210	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		211	//Aufgabenstellung//
		212	<br><p>
		213	Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
		214	<br>
		215	Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
		216	</p>
		217	//Lösung//
		218	<br><p>
		219	Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
		220	</p>
		221	Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
		222	<br>
		223	Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
		224	<br>
		225	Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
		226	<br>
		227	{{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
		228	<br>
		229	{{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3\|3\|3){{/formula}}.
		230
		231	{{/detail}}

Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra