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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 <br>
5 {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 <br>
18 {{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 <br>
20 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 <br>
22 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 <br>
24 <br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 <br>
26 {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 <br>
28 g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 <br>
30 <br>
31 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 <br>
33 {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
34 <br>
35 Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
36
37 {{formula}}
38 \left\{
39 \begin{aligned}
40 0 + 1s &= 5 + 3r \\
41 3 - 2s &= -3 - 4r \\
42 0 + 2s &= 2 + 2r
43 \end{aligned}
44 \right\}
45 \Leftrightarrow
46 \left\{
47 \begin{aligned}
48 s - 3r &= 5 \\
49 -2s + 4r &= -6 \\
50 2s - 2r &= 2
51 \end{aligned}
52 \right\}
53 \Leftrightarrow
54 r = -2 \land s = -1
55 {{/formula}}
56 <br>
57 <br>
58 Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
59
60 {{/detail}}
61
62 === Teilaufgabe b) ===
63 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
64 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
65 <br>
66 Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
67 {{/detail}}
68
69
70 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 //Aufgabenstellung//
72 <br><p>
73 Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
74 <br>
75 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
76 </p>
77 //Lösung//
78 <br>
79 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
80 <br>
81 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
82 <br>
83 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
84 <br><p>
85 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
86 </p>
87 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
88 <br>
89 Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
90 <br>
91 {{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
92 <br>
93 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
94 <br>
95 Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
96 <br>
97 {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
98 {{/detail}}
99
100 === Teilaufgabe c) ===
101 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
102 Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
103 <br>
104 Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
105 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
106 {{/detail}}
107
108
109 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 //Aufgabenstellung//
111 <br><p>
112 Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
113 <br>
114 Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
115 </p>
116 //Lösung//
117 <br><p>
118 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
119 </p><p>
120 Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
121 </p>
122 Spurpunkte:
123 <br>
124 {{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
125 <br>
126 {{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
127 <br>
128 {{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
129 <br>
130 Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
131 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
132 {{/detail}}
133
134 === Teilaufgabe d) ===
135 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
136 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
137 <br>
138 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}
139 <br>
140 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
141 <br>
142 Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
143 {{/detail}}
144
145
146 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 //Aufgabenstellung//
148 <br><p>
149 Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
150 <br>
151 Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
152 </p>
153 //Lösung//
154 <br>
155 Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
156 <br>
157 {{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 {{/formula}}
158 <br>
159 {{formula}}\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad 6=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
160 <br><p>
161 Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
162 </p>
163 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
164 <br>
165 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
166 <br>
167 {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
168 <br><p>
169 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
170 </p>
171 Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats (z.B. A) der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite (z.B. {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}}) addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
172 <br>
173 {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
174 <br>
175 Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
176 [[image:Skizze-Teilaufgabe-b.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
177 {{/detail}}
178
179 === Teilaufgabe e) ===
180 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
181 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
182 <br>
183 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
184 <br>
185 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
186 {{/detail}}
187
188
189 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
190 //Aufgabenstellung//
191 <br><p>
192 Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
193 </p>
194 //Lösung//
195 [[image:Skizze-Teilaufgabe-e.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
196 <br>
197 Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
198 <br>
199 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
200 <br>
201 Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
202 <br>
203 Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
204 <br>
205 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
206 <br>
207 Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
208 <br>
209 Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
210 <br>
211 {{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
212 <br>
213 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
214 {{/detail}}
215
216 === Teilaufgabe f) ===
217 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
218 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
219 <br>
220 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
221 <br>
222 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
223 {{/detail}}
224
225
226 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
227 //Aufgabenstellung//
228 <br><p>
229 Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
230 <br>
231 Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
232 </p>
233 //Lösung//
234 <br><p>
235 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
236 </p>
237 Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
238 <br>
239 Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
240 <br>
241 Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
242 <br>
243 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
244 <br>
245 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
246
247 {{/detail}}