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Tipp Lineare Algebra

Version 2.1 von akukin am 2025/01/28 23:43

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 Die Gleichung der Gerade g hat den Stützpunkt A und den Richtungsvektor \overrightarrow{AC}.
Hinweis 2 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie sich schneiden.

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden g und h sind die Spannvektoren der Ebene E.
Hinweis 2 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
Die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts findest du in der Merkhilfe.
Hinweis 3 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b, wobei \vec{n}=\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right) ein Normalenvektor der Ebene ist.
Den noch fehlenden Wert für b auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt A.

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte der Ebene, die auch auf einer der Achsen liegen.
Hinweis 2 Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null.
Hinweis 3 Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
Hinweis 4 Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.

Teilaufgabe d)

Hinweis 1 Zeige zuerst, dass der weitere Eckpunkt (-1|2|4) in der Ebene E liegt.
Hinweis 2 Überlege dir, was zu überprüfen ist, um ein ebenes Viereck als Quadrat zu identifizieren.
Hinweis 3 Zum einen muss gelten, dass jeweils zwei Seiten des Quadrats senkrecht aufeinander stehen; zum anderen müssen die Seiten gleich lang sein.
Hinweis 4 Der weitere Eckpunkt sei B(-1|2|4). Zum einen muss gelten, dass die Seiten AB und BC des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC} gelten.
Hinweis 5 Der fehlende Punkt D kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberligenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).

Teilaufgabe e)

Hinweis 1 Zuerst wird der Mittelpunkt M der Grundfläche, also des Quadrats, benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen AC.
(Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
Hinweis 2 Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt M 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
(Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.)
Hinweis 3 Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von M zwölfmal den Einheitsvektor von \vec{n}, so erhält man den Ortsvektor der Spitze.
(Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.)

Teilaufgabe f)

Hinweis Schaue dir die Koordinaten der Eckpunkte A,B,C,D der Grundfläche der Pyramide an. Fällt dir etwas auf, wenn du diese mit den Koordinaten des Schattenpunkts R^\prime vergleichst?