Teilaufgabe a)
Hinweis 1
Die Gleichung der Gerade \(g\) hat den Stützpunkt \(A\) und den Richtungsvektor \(\overrightarrow{AC}\).Hinweis 2
Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie sich schneiden.Teilaufgabe b)
Hinweis 1
Die beiden Richtungsvektoren der Geraden \(g\) und \(h\) sind die Spannvektoren der Ebene \(E\).Hinweis 2
Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.Die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts findest du in der Merkhilfe.
Hinweis 3
Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene \(n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b\), wobei \(\vec{n}=\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right)\) ein Normalenvektor der Ebene ist.Den noch fehlenden Wert für b auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt \(A\).
Teilaufgabe c)
Hinweis 1
Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte der Ebene, die auch auf einer der Achsen liegen.Hinweis 2
Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null.Hinweis 3
Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.Hinweis 4
Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.Teilaufgabe d)
Hinweis 1
Zeige zuerst, dass der weitere Eckpunkt \((-1|2|4)\) in der Ebene \(E\) liegt.Hinweis 2
Überlege dir, was zu überprüfen ist, um ein ebenes Viereck als Quadrat zu identifizieren.Hinweis 3
Zum einen muss gelten, dass jeweils zwei Seiten des Quadrats senkrecht aufeinander stehen; zum anderen müssen die Seiten gleich lang sein.Hinweis 4
Der weitere Eckpunkt sei \(B(-1|2|4)\). Zum einen muss gelten, dass die Seiten \(AB\) und \(BC\) des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt \(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}\) ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\) gelten.Hinweis 5
Der fehlende Punkt \(D\) kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberligenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).Teilaufgabe e)
Hinweis 1
Zuerst wird der Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche, also des Quadrats, benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen \(AC\).(Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
Hinweis 2
Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt \(M\) 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.(Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.)
Hinweis 3
Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von \(M\) zwölfmal den Einheitsvektor von \(\vec{n}\), so erhält man den Ortsvektor der Spitze.(Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.)