Wiki-Quellcode von Tipp Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/28 23:46

version	line-number	content
1.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
	2	{{detail summary="Hinweis 1"}}
	3	Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
	4	{{/detail}}
	5
	6
	7	{{detail summary="Hinweis 2"}}
2.1	8	Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie sich schneiden.
1.1	9	{{/detail}}
	10
	11	=== Teilaufgabe b) ===
	12	{{detail summary="Hinweis 1"}}
	13	Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	14	{{/detail}}
	15
	16
	17	{{detail summary="Hinweis 2"}}
	18	Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
	19	<br>
2.1	20	Die Formel zur Berechnung des Vektorprodukts findest du in der Merkhilfe.
1.1	21	{{/detail}}
	22
	23
	24	{{detail summary="Hinweis 3"}}
	25	Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n}=\left(\begin{matrix}n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
	26	<br>
	27	Den noch fehlenden Wert für b auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
	28	{{/detail}}
	29
	30	=== Teilaufgabe c) ===
	31	{{detail summary="Hinweis 1"}}
	32	Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte der Ebene, die auch auf einer der Achsen liegen.
	33	{{/detail}}
	34
	35
	36	{{detail summary="Hinweis 2"}}
	37	Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null.
	38	{{/detail}}
	39
	40
	41	{{detail summary="Hinweis 3"}}
	42	Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
	43	{{/detail}}
	44
	45
	46	{{detail summary="Hinweis 4"}}
	47	Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
	48	{{/detail}}
	49
	50	=== Teilaufgabe d) ===
	51	{{detail summary="Hinweis 1"}}
	52	Zeige zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1\|2\|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
	53	{{/detail}}
2.1	54
	55
	56	{{detail summary="Hinweis 2"}}
	57	Überlege dir, was zu überprüfen ist, um ein ebenes Viereck als Quadrat zu identifizieren.
	58	{{/detail}}
	59
	60
	61	{{detail summary="Hinweis 3"}}
	62	Zum einen muss gelten, dass jeweils zwei Seiten des Quadrats senkrecht aufeinander stehen; zum anderen müssen die Seiten gleich lang sein.
	63	{{/detail}}
	64
2.2	65
2.1	66	{{detail summary="Hinweis 4"}}
2.2	67	Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1\|2\|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}\|\overrightarrow{AB}\|=\|\overrightarrow{BC}\|{{/formula}} gelten.
2.1	68	{{/detail}}
	69
	70
	71	{{detail summary="Hinweis 5"}}
	72	Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberligenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
	73	{{/detail}}
	74
	75	=== Teilaufgabe e) ===
	76	{{detail summary="Hinweis 1"}}
	77	Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats, benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}.
	78	<br>
	79	(Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
	80	{{/detail}}
	81
	82
	83	{{detail summary="Hinweis 2"}}
	84	Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
	85	<br>
	86	(Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.)
	87	{{/detail}}
	88
	89
	90	{{detail summary="Hinweis 3"}}
	91	Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvektor der Spitze.
	92	<br>
	93	(Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.)
	94	{{/detail}}
	95
	96	=== Teilaufgabe f) ===
	97	{{detail summary="Hinweis"}}
	98	Schaue dir die Koordinaten der Eckpunkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} der Grundfläche der Pyramide an. Fällt dir etwas auf, wenn du diese mit den Koordinaten des Schattenpunkts {{formula}}R^\prime{{/formula}} vergleichst?
	99	{{/detail}}