Lösung Stochastik

{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.

37

38

{{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)

39

40

{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.

41

42

{{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}

43

44

{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}}

45

46

Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.

47

48

{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)

49

50

51

=== Teilaufgabe b) ===

52

53

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.

54

55

{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0,09{{/formula}}.

56

57

{{formula}}\mu=18{{/formula}}

58

59

{{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.

67

68

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.

//Lösung//

{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}})

73

74

Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.

75

76

Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.

77

78

{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}}

79

80

81

=== Teilaufgabe c) ===

82

83

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

84

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

85

|{{formula}}I{{/formula}}|0,0055|0,035|0,0405

86

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|0,0495 |0,91|0,9595

87

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|0,945|1

//Aufgabenstellung//

Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.

95

96

(zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}})

//Lösung//

(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)

101

| |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}

102

|{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,|(% style="color:green" %)0,035,,6,,|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,,

103

|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, |0,91|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,,

104

|{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055,,1,,|(% style="color:green" %)0,945,,7,,|1

105

106

Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}}

107

(% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}}

108

109

Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))

110

(% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))

111

Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.

=== Teilaufgabe d) ===

116

117

Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.

118

119

Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.

120

121

122

=== Teilaufgabe e) ===

123

124

{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.

125

126

127

=== Teilaufgabe f) ===

128

129

{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation

130

131

{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}

132

133

134

=== Teilaufgabe g) ===

135

136

Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen

137

138

{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen

139

(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)

140

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen

141

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}

142

|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}

143

144

{{formula}}\mu=6,50{{/formula}}

145

146

{{formula}}9\cdot (0,91-a)-0,5\cdot a-0,5\cdot 0,09=6,5 \ \implies \ a \approx 0,173{{/formula}}

147

148

Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.

149

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		3	{{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
		4	<br>
		5	{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen.
		6	<br>
		7	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
		8	<br>
		9	{{formula}}P(E_2)=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}}
		10	<br>
		11	{{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
		12	<br>
		13	{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}}
		14	{{/detail}}
		15
		16
		17	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		18	//Aufgabenstellung//
		19	<br>
		20	Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
		21	<br>
		22	Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
		23	<br>
		24	{{formula}}E_1{{/formula}}: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.
		25	<br>
		26	{{formula}}E_2{{/formula}}: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt.
		27	<br><p>
		28	{{formula}}E_3{{/formula}}: Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt.
		29	</p>
		30	//Lösung//
		31	<br>
		32	{{formula}}E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
		33	<br><p>
		34	{{formula}}P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
		35	</p><p>
		36	{{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
		37	<br>
		38	{{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
		39	</p>
		40	{{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
		41	<br>
		42	{{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
		43	<br>
		44	{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}}
		45	<br>
		46	Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
		47	<br>
		48	{{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
		49	{{/detail}}
		50
		51	=== Teilaufgabe b) ===
		52	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		53	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.
		54	<br>
		55	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0,09{{/formula}}.
		56	<br>
		57	{{formula}}\mu=18{{/formula}}
		58	<br>
		59	{{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}}
		60	{{/detail}}
		61
		62
		63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		64	//Aufgabenstellung//
		65	<br><p>
		66	200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.
		67	<br>
		68	Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.
		69	</p>
		70	//Lösung//
		71	<br>
		72	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}})
		73	<br>
		74	Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
		75	<br>
		76	Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
		77	<br>
		78	{{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}}
		79	{{/detail}}
		80
		81	=== Teilaufgabe c) ===
		82	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		83	(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
		84	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		85	\|{{formula}}I{{/formula}}\|0,0055\|0,035\|0,0405
		86	\|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}\|0,0495 \|0,91\|0,9595
		87	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|0,055\|0,945\|1
		88	{{/detail}}
		89
		90
		91	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		92	//Aufgabenstellung//
		93	<br><p>
		94	Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
		95	<br>
		96	(zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}})
		97	</p>
		98	//Lösung//
		99	<br>
		100	(% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
		101	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|{{formula}}\sum{{/formula}}
		102	\|{{formula}}I{{/formula}}\|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,\|(% style="color:green" %)0,035,,6,,\|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,,
		103	\|{{formula}}\overline{I}{{/formula}}\|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, \|0,91\|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,,
		104	\|{{formula}}\sum{{/formula}} \|0,055,,1,,\|(% style="color:green" %)0,945,,7,,\|1
		105
		106	Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}}
		107	(% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}}
		108	<br>
		109	Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))
		110	(% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))
		111	Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.
		112
		113	{{/detail}}
		114
		115	=== Teilaufgabe d) ===
		116	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		117	Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
		118	<br>
		119	Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.
		120	{{/detail}}
		121
		122	=== Teilaufgabe e) ===
		123	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		124	{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.
		125	{{/detail}}
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		127	=== Teilaufgabe f) ===
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		129	{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
		130	<br>
		131	{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
		132	{{/detail}}
		133
		134	=== Teilaufgabe g) ===
		135	{{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
		136	Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
		137	<br>
		138	{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
		139	(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
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		145	<br>
		146	{{formula}}9\cdot (0,91-a)-0,5\cdot a-0,5\cdot 0,09=6,5 \ \implies \ a \approx 0,173{{/formula}}
		147	<br>
		148	Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
		149	{{/detail}}

Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik