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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:13
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
3 {{formula}}P(E_1 )=0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
4 <br>
5 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen.
6 <br>
7 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
8 <br>
9 {{formula}}P(E_2)=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}}
10 <br>
11 {{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
12 <br>
13 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}}
14 {{/detail}}
15
16
17 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
18 //Aufgabenstellung//
19 <br>
20 Es werden nacheinander 20 zufällig ausgewählte Testpersonen befragt.
21 <br>
22 Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:
23 <br>
24 {{formula}}E_1{{/formula}}: Nur die dritte Testperson verträgt das Produkt nicht.
25 <br>
26 {{formula}}E_2{{/formula}}: Genau 18 Testpersonen vertragen das Produkt.
27 <br><p>
28 {{formula}}E_3{{/formula}}: Mindestens 70% der Testpersonen vertragen das Produkt.
29 </p>
30 //Lösung//
31 <br>
32 {{formula}}E_1{{/formula}}: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
33 <br><p>
34 {{formula}}P(E_1 )=0,91\cdot 0,91\cdot 0,09\cdot 0,91\cdot 0,91 \hdots =0,91^{19}\cdot 0,09\approx 0,015{{/formula}}
35 </p><p>
36 {{formula}}E_2{{/formula}}: Die Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}}: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit {{formula}}n=20{{/formula}} und {{formula}}p=0,91{{/formula}}.
37 <br>
38 {{formula}}P(E_2 )=P(X=18)\approx 0,282{{/formula}} (Taschenrechner: binomialpdf)
39 </p>
40 {{formula}}E_3{{/formula}}: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
41 <br>
42 {{formula}}0,7\cdot 20=14{{/formula}}
43 <br>
44 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14){{/formula}}
45 <br>
46 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(X\geq 14){{/formula}} noch umformuliert werden.
47 <br>
48 {{formula}}P(E_3 )=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1-0,0013\approx 0,9987{{/formula}} (Taschenrechner: binomialcdf)
49 {{/detail}}
50
51 === Teilaufgabe b) ===
52 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
53 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen.
54 <br>
55 {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0,09{{/formula}}.
56 <br>
57 {{formula}}\mu=18{{/formula}}
58 <br>
59 {{formula}}P(14\leq Y \leq 22)=P(Y\leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308 \approx 0,735{{/formula}}
60 {{/detail}}
61
62
63 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64 //Aufgabenstellung//
65 <br><p>
66 200 Personen nutzen das Pflegeprodukt.
67 <br>
68 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dabei die Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen, zwischen 14 und 22 liegt.
69 </p>
70 //Lösung//
71 <br>
72 {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit {{formula}}n=200,\ p=0,09{{/formula}})
73 <br>
74 Gesucht ist {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}}.
75 <br>
76 Da der Taschenrechner nur {{formula}}P(X\leq m){{/formula}} berechnen kann, also über alle {{formula}}P(X=k){{/formula}} von {{formula}}k=0{{/formula}} bis {{formula}}k=m{{/formula}} aufsummiert, muss {{formula}}P(14\leq Y\leq 22){{/formula}} noch umformuliert werden.
77 <br>
78 {{formula}}P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx 0,8657-0,1308\approx 0,735{{/formula}}
79 {{/detail}}
80
81 === Teilaufgabe c) ===
82 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
83 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
84 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
85 |{{formula}}I{{/formula}}|0,0055|0,035|0,0405
86 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|0,0495 |0,91|0,9595
87 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055|0,945|1
88 {{/detail}}
89
90
91 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
92 //Aufgabenstellung//
93 <br><p>
94 Übertrage die Vierfeldertafel auf dein Blatt und vervollständige diese.
95 <br>
96 (zur Kontrolle: {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}})
97 </p>
98 //Lösung//
99 <br>
100 (% class="border" style="width:50%;text-align:center" %)
101 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}|{{formula}}\sum{{/formula}}
102 |{{formula}}I{{/formula}}|(% style="color:green" %)0,0055,,3,,|(% style="color:green" %)0,035,,6,,|(% style="color:green" %) 0,0405,,5,,
103 |{{formula}}\overline{I}{{/formula}}|(% style="color:red" %) 0,0495,,2,, |0,91|(% style="color:green" %) 0,9595,,4,,
104 |{{formula}}\sum{{/formula}} |0,055,,1,,|(% style="color:green" %)0,945,,7,,|1
105
106 Schwarz: Angabe direkt aus dem Text: {{formula}}P(A)=0,055{{/formula}}
107 (% style="color:red" %)(((Rot: „Von diesen haben 90% keine Irritation“: {{formula}}\textcolor{red}{P_A (\overline{I})=0,9}{{/formula}}
108 <br>
109 Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))
110 (% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))
111 Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.
112 {{/detail}}
113
114 === Teilaufgabe d) ===
115 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
116 Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
117 <br>
118 Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.
119 {{/detail}}
120
121
122 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
123 //Aufgabenstellung//
124 <br><p>
125 Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist.
126 </p>
127 //Lösung//
128 <br>
129 Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich überprüfen durch den Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
130 <br>
131 Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann wären beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).
132 <br>
133 Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
134 <br>
135 {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}}
136 <br>
137 Da {{formula}}P(A\cap I)\neq P(A)\cdot P(I){{/formula}}, folgt die stochastische Abhängigkeit.
138 {{/detail}}
139
140 === Teilaufgabe e) ===
141 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
142 {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.
143 {{/detail}}
144
145
146 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 //Aufgabenstellung//
148 <br><p>
149 Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt.
150 </p>
151 //Lösung//
152 <br>
153 Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.
154 <br>
155 [[image:Venndiagramm_e).png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
156 <br>
157 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.
158 <br>
159 {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+ P(\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}
160 {{/detail}}
161
162 === Teilaufgabe f) ===
163 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
164 {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
165 <br>
166 {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
167 {{/detail}}
168
169
170 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
171 //Aufgabenstellung//
172 <br><p>
173 Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert.
174 </p>
175 //Lösung//
176 <br>
177 {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
178 <br>
179 Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
180 <br>
181 {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
182 {{/detail}}
183
184 === Teilaufgabe g) ===
185 {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
186 Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
187 <br>
188 {{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
189 (% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
190 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
191 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
192 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
193
194 {{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
195 <br>
196 {{formula}}9\cdot (0,91-a)-0,5\cdot a-0,5\cdot 0,09=6,5 \ \implies \ a \approx 0,173{{/formula}}
197 <br>
198 Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
199 {{/detail}}
200
201
202 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
203 //Aufgabenstellung//
204 <br><p>
205 Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens 6,50€ pro Stück erwirtschaften.
206 <br>
207 Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen.
208 </p>
209 //Lösung//
210 <br>
211 Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
212 <br>
213 {{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
214 (% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
215 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
216 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
217 |=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
218
219 Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}.
220 <br>
221 {{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}}
222 <br>
223 {{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+ 0,09\cdot (-0,5) + a \cdot (-0,5){{/formula}}
224 <br>
225 {{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
226 <br>
227 {{formula}}(0,91-a)\cdot 9- 0,09\cdot 0,5 -0,5a=6,5{{/formula}}
228 <br>
229 Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden.
230 <br>
231 {{formula}}(0,91-a)\cdot 9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 \ \Leftrightarrow \ a\approx 0,173{{/formula}}
232
233 <br>
234 Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
235 {{/detail}}