2025 eAN - Teil A - Pflichtaufgaben

Aufgabe 1  Analysis Aufgabe 1

[5 BE] Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}+3x^{2} \), \( x \in \mathbb{R} \).
\( K \) ist der Graph der Funktion.

Berechne

• die Koordinaten des Hoch- und des Tiefpunkts von \( K \) und
• die Steigung von \( K \) im Wendepunkt.

Aufgabe 2  Analysis Aufgabe 2

In einem Wassertank wird Wasser gespeichert.
Die Abbildung zeigt den Verlauf der momentanen Änderungsrate \( w(t) \) des Wasservolumens im Tank. Dabei ist \( t \) die Zeit in Stunden seit Beginn der Beobachtung \( (t=0) \) und \( w(t) \) die momentane Änderungsrate in \( \text{m}^{3} \) pro Stunde zum Zeitpunkt \( t \).
Der Beobachtungszeitraum beträgt 18 Stunden.

1. [2 BE] Begründe, dass neun Stunden nach Beginn der Beobachtung mehr Wasser im Tank ist als zu Beginn.
2. [3 BE] Die Funktion \( w \) ist eine trigonometrische Funktion.
   Ermittle einen möglichen Funktionsterm dieser Funktion.

Aufgabe 3  Stochastik

Die Abbildung zeigt den Graphen der Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsgröße \( X \).

1. [1 BE] Gib den Erwartungswert der Zufallsgröße \( X \) an.
2. [2 BE] Gib näherungsweise den Wert der Standardabweichung von \( X \) an.
   Begründe diesen.
3. [2 BE] Ermittle näherungsweise die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert der Zufallsgröße \( X \) im Intervall \( [5; 7] \) liegt.

Aufgabe 4  Lineare Algebra

Die Punkte \( A(5|-1|2) \), \( B(9|2|12) \) und \( C(3|-2|4) \) sind die Eckpunkte eines Dreiecks \( ABC \).

1. [2 BE] Weise nach, dass das Dreieck \( ABC \) bei \( C \) einen rechten Winkel besitzt.
2. [3 BE] Die abgebildete Skizze stellt das Dreieck \( ABC \) dar.
   

Nun wird ein Punkt \( P \) hinzugefügt, sodass dieser zusammen mit \( A \), \( B \) und \( C \) die Eckpunkte eines Parallelogramms bildet.

• Übernimm die Skizze auf dein Lösungsblatt und erweitere diese um einen möglichen Punkt \( P \).
• Bestimme mögliche Koordinaten des Punktes \( P \) so, dass das Parallelogramm kein Rechteck ist.