2025 eAN - Teil A - Wahlaufgabe und Problemlöseaufgabe

Aufgabe 1  Stochastik 5_1

Ein Spiel besteht aus 25 verschiedenen Karten.
Jede Karte ist mit einer der fünf Zahlen 1, 2, 3, 4 oder 5 bedruckt und hat eine der fünf Farben Gelb, Rot, Blau, Grün und Violett.
Bei dem Spiel werden nacheinander Karten ohne Zurücklegen gezogen.

1. [2 BE] Zwei der 25 Karten werden zufällig gezogen.
   Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau eine dieser Karten mit der Zahl 4 bedruckt ist.
2. [3 BE] Drei der 25 Karten werden zufällig gezogen.
   Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass diese drei Karten sowohl unterschiedliche Farben haben als auch mit unterschiedlichen Zahlen bedruckt sind.

Aufgabe 2  Stochastik 5_2

Für das Sommerfest hat die SMV ein Glücksrad mit farbigen Sektoren vorbereitet: Der grüne Sektor nimmt die Hälfte des Glücksrades ein, der blaue Sektor ein Drittel und der rote Sektor ein Sechstel.
Das Glücksrad wird viermal gedreht.

1. [2 BE] Gib einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen lässt: „Es wird mindestens einmal Rot gedreht."

2. [3 BE] Bei dem Glücksspiel berechnet die SMV die auf lange Sicht zu erwartende Auszahlung (in Euro) pro Spiel mit

   \[ 5\cdot\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right). \]

   Beschreibe in der Anwendungssituation Regeln für die Auszahlung.

Aufgabe 3  Lineare Algebra 5_3

Die Ebene \( E \) ist gegeben durch \( E: 2x_{1}-x_{2}+2x_{3}=4 \).

1. [2 BE] Eine zur Ebene \( E \) parallele Gerade \( g \) ist für eine reelle Zahl \( a \) gegeben durch \( g:\vec{x}=\begin{pmatrix}1\\ -4\\ a\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix}3\\ 8\\ 1\end{pmatrix}; s\in\mathbb{R}. \)
   Bestimme den Wert von \( a \) so, dass \( g \) in \( E \) liegt.
2. [3 BE] Die Schnittpunkte von \( E \) mit den Koordinatenachsen bilden die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks.
   Ermittle die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.

Aufgabe 4  Lineare Algebra 5_4

[5 BE] Gegeben ist das folgende lineare Gleichungssystem:
\(\begin{align*} x+y+z &= 12 \\ 5x+10y+20z &= 150 \end{align*}\)

Berechne die Lösungen des linearen Gleichungssystems, wenn \( x \), \( y \) und \( z \) natürliche Zahlen sind.

Aufgabe 5  Analysis 6 (Problemlöseaufgabe)

[10 BE] Bearbeite die folgende Aufgabe unter Berücksichtigung der einzelnen Problemlöseschritte. Dokumentiere und reflektiere deine Vorgehensweise.

Gegeben sind folgende drei Eigenschaften, die eine Funktion \( f \) bzw. deren Graph haben kann:

• \( f \) ist eine Polynomfunktion.
• Der Graph von \( f \) ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
• Der Graph von \( f \) besitzt mindestens einen Hochpunkt.

Bestimme jeweils einen passenden Funktionsterm, so dass die Funktion \( f \)...

1. genau zwei der drei Eigenschaften erfüllt.
2. alle drei Eigenschaften erfüllt.
3. keine der drei Eigenschaften erfüllt.