Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 5_4
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
| 1 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 2 | <p> | ||
| 3 | {{formula}} | ||
| 4 | \begin{align*} | ||
| 5 | &\text{(1)} x + y + z = 12 \\ | ||
| 6 | &\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\ | ||
| 7 | \end{align*} | ||
| 8 | {{/formula}} | ||
| 9 | </p><p> | ||
| 10 | {{formula}} | ||
| 11 | \text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90 \ \Leftrightarrow \ y + 3z = 18 | ||
| 12 | {{/formula}} | ||
| 13 | </p> | ||
| 14 | Da {{formula}}x, y{{/formula}} und {{formula}}z{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen können, erhält man damit die Lösungsmenge {{formula}} | ||
| 15 | L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\} | ||
| 16 | {{/formula}} | ||
| 17 | {{/detail}} | ||
| 18 | |||
| 19 | |||
| 20 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 21 | <p> | ||
| 22 | {{formula}} | ||
| 23 | \begin{align*} | ||
| 24 | &\text{(1)} x + y + z = 12 \\ | ||
| 25 | &\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\ | ||
| 26 | \end{align*} | ||
| 27 | {{/formula}} | ||
| 28 | </p><p> | ||
| 29 | {{formula}} | ||
| 30 | \text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90 | ||
| 31 | {{/formula}} | ||
| 32 | </p> | ||
| 33 | Die erhaltene Gleichung lässt sich umstellen zu | ||
| 34 | <br> | ||
| 35 | {{formula}} | ||
| 36 | \begin{align*} | ||
| 37 | 5y + 15z &= 90 && \mid :5\\ | ||
| 38 | y+3z &= 18 && \mid -3z \\ | ||
| 39 | y &= 18-3z | ||
| 40 | \end{align*} | ||
| 41 | {{/formula}} | ||
| 42 | <br> | ||
| 43 | Da {{formula}}x, y{{/formula}} und {{formula}}z{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen können, gilt {{formula}}y \geq 0{{/formula}}. Das heißt, es gilt: | ||
| 44 | <br><p> | ||
| 45 | {{formula}} | ||
| 46 | \begin{align*} | ||
| 47 | 0 &\leq 18-3z && \mid +3z\\ | ||
| 48 | 3z &\leq 18 && \mid :3\\ | ||
| 49 | z &\leq 6 | ||
| 50 | \end{align*} | ||
| 51 | {{/formula}} | ||
| 52 | </p> | ||
| 53 | Aus der ersten Gleichung des LGS erhalten wir, indem wir {{formula}}y = 18-3z{{/formula}} einsetzen: | ||
| 54 | <br> | ||
| 55 | {{formula}} | ||
| 56 | \begin{align*} | ||
| 57 | x + 18-3z + z &= 12 &&\mid -18 \\ | ||
| 58 | x - 2z &= -6 && \mid +2z\\ | ||
| 59 | x &= -6 +2z | ||
| 60 | \end{align*} | ||
| 61 | {{/formula}} | ||
| 62 | <br> | ||
| 63 | Die Bedingung {{formula}}x\geq 0{{/formula}} führt zu: | ||
| 64 | <br> | ||
| 65 | {{formula}} | ||
| 66 | \begin{align*} | ||
| 67 | 0 &\leq -6 +2z &&\mid +6 \\ | ||
| 68 | 6 &\leq 2z &&\mid :2 \\ | ||
| 69 | 3 &\leq z | ||
| 70 | \end{align*} | ||
| 71 | {{/formula}} | ||
| 72 | <br> | ||
| 73 | Insgesamt wissen wir also, dass {{formula}}3\leq z \leq 6{{/formula}} gelten muss. Das heißt, wir setzen alle möglichen Werte für {{formula}}z{{/formula}} ein, um die einzelnen Lösungspunkte zu erhalten: | ||
| 74 | <br> | ||
| 75 | {{formula}}z=3: y= 18 - 3\cdot 3= 9 \implies x+9+3= 12 \Leftrightarrow x=0 {{/formula}} | ||
| 76 | <br> | ||
| 77 | {{formula}}z=4: y= 18 - 3\cdot 4= 6 \implies x+6+4= 12 \Leftrightarrow x=2 {{/formula}} | ||
| 78 | <br> | ||
| 79 | {{formula}}z=5: y= 18 - 3\cdot 5= 3 \implies x+3+5= 12 \Leftrightarrow x=4 {{/formula}} | ||
| 80 | <br><p> | ||
| 81 | {{formula}}z=6: y= 18 - 3\cdot 6= 0 \implies x+0+6= 12 \Leftrightarrow x=6 {{/formula}} | ||
| 82 | </p> | ||
| 83 | Es ergibt sich also die Lösungsmenge {{formula}} | ||
| 84 | L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\} | ||
| 85 | {{/formula}} | ||
| 86 | |||
| 87 | {{/detail}} |