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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 5_4

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 20:27
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1 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2 <p>
3 {{formula}}
4 \begin{align*}
5 &\text{(1)} x + y + z = 12 \\
6 &\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\
7 \end{align*}
8 {{/formula}}
9 </p><p>
10 {{formula}}
11 \text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90 \ \Leftrightarrow \ y + 3z = 18
12 {{/formula}}
13 </p>
14 Da {{formula}}x, y{{/formula}} und {{formula}}z{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen können, erhält man damit die Lösungsmenge {{formula}}
15 L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}
16 {{/formula}}
17 {{/detail}}
18
19
20 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
21 <p>
22 {{formula}}
23 \begin{align*}
24 &\text{(1)} x + y + z = 12 \\
25 &\text{(2)} 5x + 10y + 20z = 150 \\
26 \end{align*}
27 {{/formula}}
28 </p><p>
29 {{formula}}
30 \text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90
31 {{/formula}}
32 </p>
33 Die erhaltene Gleichung lässt sich umstellen zu
34 <br>
35 {{formula}}
36 \begin{align*}
37 5y + 15z &= 90 && \mid :5\\
38 y+3z &= 18 && \mid -3z \\
39 y &= 18-3z
40 \end{align*}
41 {{/formula}}
42 <br>
43 Da {{formula}}y{{/formula}} nur natürliche Werte annehmen kann, gilt {{formula}}y \geq 0{{/formula}}. Das heißt, es gilt:
44 <br><p>
45 {{formula}}
46 \begin{align*}
47 0 &\leq 18-3z && \mid +3z\\
48 3z &\leq 18 && \mid :3\\
49 z &\leq 6
50 \end{align*}
51 {{/formula}}
52 </p>
53 Aus der ersten Gleichung des LGS erhalten wir, indem wir {{formula}}y = 18-3z{{/formula}} einsetzen:
54 <br>
55 {{formula}}
56 \begin{align*}
57 x + 18-3z + z &= 12 &&\mid -18 \\
58 x - 2z &= -6 && \mid +2z\\
59 x &= -6 +2z
60 \end{align*}
61 {{/formula}}
62 <br>
63 Die Bedingung {{formula}}x\geq 0{{/formula}} führt zu:
64 <br>
65 {{formula}}
66 \begin{align*}
67 0 &\leq -6 +2z &&\mid +6 \\
68 6 &\leq 2z &&\mid :2 \\
69 3 &\leq z
70 \end{align*}
71 {{/formula}}
72 <br>
73 Insgesamt wissen wir also, dass {{formula}}3\leq z \leq 6{{/formula}} gelten muss. Das heißt, wir setzen alle möglichen Werte für {{formula}}z{{/formula}} ein, um die einzelnen Lösungspunkte zu erhalten:
74 <br>
75 {{formula}}z=3: y= 18 - 3\cdot 3= 9 \implies x+9+3= 12 \Leftrightarrow x=0 {{/formula}}
76 <br>
77 {{formula}}z=4: y= 18 - 3\cdot 4= 6 \implies x+6+4= 12 \Leftrightarrow x=2 {{/formula}}
78 <br>
79 {{formula}}z=5: y= 18 - 3\cdot 5= 3 \implies x+3+5= 12 \Leftrightarrow x=4 {{/formula}}
80 <br><p>
81 {{formula}}z=6: y= 18 - 3\cdot 6= 0 \implies x+0+6= 12 \Leftrightarrow x=6 {{/formula}}
82 </p>
83 Es ergibt sich also die Lösungsmenge {{formula}}
84 L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}
85 {{/formula}}
86
87 {{/detail}}