Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik 5_2

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 13:41

version	line-number	content
1.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	{{formula}}1-\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
	4	{{/detail}}
	5
	6
	7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	8	//Aufgabenstellung//
	9	<br><p>
	10	Gib einen Term an, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses berechnen lässt: „Es wird mindestens einmal Rot gedreht."
	11	</p>
	12	//Lösung//
	13	<br>
	14	Um die Wahrscheinlichkeit für „mindestens einmal Rot“ zu berechnen, ist es am einfachsten, das Gegenereignis, nämlich „kein mal Rot“, zu betrachten.
	15	<p></p>
	16	Die Wahrscheinlichkeit, nicht rot zu drehen (also grün oder blau zu drehen), beträgt {{formula}}1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}{{/formula}}.
	17	<br>
	18	Da vier mal gedreht wird, ist also {{formula}}P(\text{kein mal Rot})=\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
	19	<p></p>
	20	Somit:
	21	<br>
	22	{{formula}}P(\text{mindestens einmal Rot})=1-P(\text{kein mal Rot})=1-\left(\frac{5}{6}\right)^4{{/formula}}
	23	{{/detail}}
	24
	25	=== Teilaufgabe b) ===
	26	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	27	Auszahlungen erhält man gemäß den folgenden Regeln:
	28	* Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
	29	5 Euro ausbezahlt.
	30	* Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
	31	* In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
	32	{{/detail}}
	33
	34
	35	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	36	//Aufgabenstellung//
	37	<br><p>
	38	Bei dem Glücksspiel berechnet die SMV die auf lange Sicht zu erwartende Auszahlung (in Euro) pro Spiel mit
	39	{{formula}} 5\cdot\binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right). {{/formula}}
	40	<br>
	41	Beschreibe in der Anwendungssituation Regeln für die Auszahlung.
	42	</p>
	43	//Lösung//
	44	<br>
2.1	45	Der Erwartungswert berechnet sich, indem man den Auszahlungsbetrag mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziert und die Produkte anschließend addiert
	46	{{formula}}\left(E(X)=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\dots x_n\cdot P(X=x_n)\right){{/formula}}.
	47	<p></p>
	48	Wir betrachten zunächst den ersten Summanden:
4.1	49	{{formula}} 5\cdot \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}}
2.1	50	<br>
3.1	51	Die Zahl {{formula}}5{{/formula}} ist der Auszahlungsbetrag von 5 Euro.
2.1	52	<br>
3.1	53	Durch den Term
	54	{{formula}} \binom{4}{2}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{2} {{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, beim Viermaligen Drehen zweimal Grün und zweimal Blau zu drehen. Denn:
2.1	55	* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Grün
	56	* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^2{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit für das zweimalige Drehen von Blau
	57	* Der Binomialkoeffizient {{formula}}\binom{4}{2}{{/formula}} gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, wie diese Ergebnisse auf die 4 Drehungen verteilt sein können.
	58	<p></p>
	59
	60	Zweiter Summand:
	61	{{formula}} 20\cdot\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right) {{/formula}}
	62	<br>
	63	Der Faktor {{formula}}20{{/formula}} steht für einen Auszahlungsbetrag von 20 Euro.
4.2	64	<br>
2.1	65	Die Klammer enthält zwei Wahrscheinlichkeiten:
	66	<br>
	67	* {{formula}}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Grün gedreht wird.
	68	* {{formula}}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}{{/formula}} ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei allen vier Drehungen Blau gedreht wird.
3.1	69
2.1	70	Nach der Additionsregel (2. Pfadregel) werden die zwei Wahrscheinlichkeiten addiert.
	71	<br>
	72	Somit wird durch den Term in der Klammer die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass viermal Grün oder viermal Blau gedreht wird.
3.1	73
	74	<div style="height: 30px;"></div>
	75
2.1	76	Da es keinen weiteren Summanden gibt, gibt es in den anderen Fällen keine Auszahlung. Die Regeln für die Auszahlung lauten somit:
	77	* Wird genau zweimal Grün und zweimal Blau gedreht, werden
	78	5 Euro ausbezahlt.
	79	* Wird viermal Grün oder viermal Blau gedreht, werden 20 Euro ausbezahlt.
	80	* In allen anderen Fällen erhält man keine Auszahlung.
1.1	81	{{/detail}}