2025 eAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz I

Aufgabe 1  Lineare Algebra

Gegeben sind die Punkte \( A(-3|-2|5) \), \( B(1|-2|3) \), \( C(9|6|7) \) und \( D(5|6|9) \).

1. [2 BE] Zeige, dass das Viereck \( ABCD \) ein Parallelogramm ist.
2. [3 BE] Zeichne das Parallelogramm \( ABCD \) in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
3. [5 BE] Weise nach, dass die \( x_{3} \)-Achse das Parallelogramm \( ABCD \) schneidet.
4. [4 BE] Die Gerade \( g \) verläuft parallel zur \( x_{3} \)-Achse durch Punkt \( C \).
   Die Gerade \( h \) verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt \( C \).
   Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.

5. [6 BE] Eine Ebene \( F \) ist parallel zur \( x_{1}x_{3} \)-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.

   • Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
   • Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
     Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene \( F \) mit der Seite \( BC \). Begründe dein Vorgehen.