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Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:43

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont \(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\ \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\), also ist \(ABCD\) ein Parallelogramm.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige, dass das Viereck \( ABCD \) ein Parallelogramm ist.

Lösung Skizze-Teilaufgabe-a.png
Um zu zeigen, dass das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind. (Übrigens: Auch ein Rechteck und ein Quadrat sind Parallelogramme)
\(\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\)
\(\overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\)
Da \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) gilt, ist das Viereck \(ABCD\) ein Parallelogramm.

Alternativ kann man auch zeigen, dass \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\) gilt.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont Lösungb).png
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeichne das Parallelogramm \( ABCD \) in ein dreidimensionales Koordinatensystem.

Lösung
Beachte beim Zeichnen, dass die \(x_1\)-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
Lösungb).png

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont Ebene durch \(ABC\): \(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}\)
\(\vec{x}= \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}\)
Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse: \(x_1=x_2=0\)
Das LGS
\(\begin{align*} (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\ (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t \end{align*}\)
hat die Lösung \(s=t=\frac{1}{4}\).
Wegen \(0<s<1\) und \(0<t<1\) liegt der Schnittpunkt der Ebene und der \(x_3\)-Achse im Parallelogramm.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Weise nach, dass die \( x_{3} \)-Achse das Parallelogramm \( ABCD \) schneidet.

Lösung
Um nachzuweisen, dass die \(x_3\)-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst eine Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor \(\overrightarrow{OA}\) und den Richtungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) auf:
\(\vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}\)
\(\vec{x}= \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix} +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}\)

Wir erhalten den Schnittpunkt mit der \(x_3\)-Achse, indem wir \(x_1=x_2=0\) setzen, was zu folgendem LGS führt:
\(\begin{align*} (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\ (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t \end{align*}\)
Aus Gleichung \((2)\) erhalten wir
\( 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}\)
Einsetzen von \( t=\frac{1}{4}\) in Gleichung \((1)\) liefert
\(0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}\)

Das LGS hat somit die Lösung \(s=t=\frac{1}{4}\).
Wegen \(0<s<1\) und \(0<t<1\) liegt der Schnittpunkt der Ebene und der \(x_3\)-Achse im Parallelogramm.

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix} =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
\(\cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1} =\frac{2}{3} \Rightarrow \alpha\approx48{,}2^\circ\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Die Gerade \( g \) verläuft parallel zur \( x_{3} \)-Achse durch Punkt \( C \). Die Gerade \( h \) verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt \( C \).
Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.

Lösung
Da die Gerade \( g \) parallel zur \( x_{3} \)-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch \(\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} \).
Da \(h\) senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
\(\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix} =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\)
Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
\(\begin{align*} \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|} =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot \sqrt{1}} =\frac{2}{3} \\ \Rightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ \end{align*}\)

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont Die Seiten \(AB\) bzw. \(CD\) sind parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene, da die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) bzw. \(\overrightarrow{CD}\) die \(x_2\) -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.

Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite \(BC\) von \(F\) geteilt wird.

Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt \(G\) von \(F\) und \(BC\):
\(\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC} =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \ G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)\)

Bemerkung: Der Ansatz \(\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}\) führt auf \(G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung
Eine Ebene \( F \) ist parallel zur \( x_{1}x_{3} \)-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
  • Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
  • Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene \( F \) mit der Seite \( BC \). Begründe dein Vorgehen.

Lösung
Die Seiten \(AB\) bzw. \(CD\) sind parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene, da die Verbindungsvektoren \(\overrightarrow{AB}\) bzw. \(\overrightarrow{CD}\) die \(x_2\) -Koordinate 0 haben. Da die Ebene \(F\) nach Aufgabenstellung ebenso parallel zur \(x_1x_3\)-Ebene ist, schneidet sie das Parallelogramm entlang einer Geraden, die zu den Seiten \(AB\) und \(CD\) parallel ist. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.

Der Flächeninhalt eines Parallelogrammes berechnet sich, indem man die Länge der Grundseite \(a\) mit der Länge der Höhe \(h_a\) multipliziert, das heißt \(A=a\cdot h_a\) (siehe Merkhilfe).
Da die Schnittebene parallel zu den Grundseiten verläuft, bleibt die Länge der Grundseite für die beiden entstehenden Parallelogramme gleich. Da der Flächeninhalt proportional zur Höhe ist, entspricht deshalb das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen.

Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite \(BC\) von \(F\) geteilt wird. Das bedeutet, die Teilstrecke vom Eckpunkt \(B\) bis zum Schnittpunkt entspricht \(\frac{1}{3}\) der gesamten Seitenlänge \(BC\).

Somit erhält man z.B. für den Schnittpunkt \(G\) von \(F\) und \(BC\):
\(\vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC} =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \ G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)\)

Bemerkung: Wählt man das Verhältnis so, dass das größere Teilstück zuerst kommt, führt der Ansatz \(\vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}\) auf \(G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)\)