Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 18:06

version	line-number	content
2.1	1	=== Teilaufgabe a) ===
1.1	2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	3	{{formula}}
	4	8500 \cdot 0{,}2 = 1700
	5	{{/formula}}
	6	{{/detail}}
	7
2.1	8
	9	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	10	//Aufgabenstellung//
	11	<br><p>
	12	Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.
	13	</p>
	14	//Lösung//
	15	<br>
	16	Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit
	17	<br>
	18	{{formula}}8500 \cdot 0{,}2 = 1700{{/formula}}
	19	{{/detail}}
	20
	21	=== Teilaufgabe b) ===
1.1	22	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
2.1	23	{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
3.1	24	(%class="border" style="width:30%" %)
1.1	25	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
	26	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	27	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}0{,}75{{/formula}}\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
	28	\|\|{{formula}}0{,}83{{/formula}}\|\|{{formula}}1{{/formula}}
	29
	30	{{formula}}
	31	P_S(A)=0{,}4=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}
	32	{{/formula}}, damit:
	33	{{formula}}
	34	P(S\cap A)=0{,}4\cdot0{,}2=0{,}08
	35	{{/formula}}
	36	<br>
	37	{{formula}}
	38	P(A)=0{,}83
	39	{{/formula}}
	40	und {{formula}}
	41	P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75
	42	{{/formula}}
	43	<br>
	44	{{formula}}
	45	P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
	46	{{/formula}}
	47	{{/detail}}
	48
2.1	49
	50	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	51	//Aufgabenstellung//
	52	<br><p>
	53	Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
	54	<br>
	55	{{formula}}A{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski fahren.
	56	<br>
	57	{{formula}}B{{/formula}}: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
	58	<br>
	59	{{formula}}C{{/formula}}: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.
	60	</p>
	61	//Lösung//
	62	<br>
	63	Wir definieren folgendes Ereignis:
	64	<br>
	65	{{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
	66	<br>
	67	Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
	68	* {{formula}}P(A){{/formula}},
	69	* {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
	70	* {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
3.1	71
	72
2.1	73	Zur Übersicht erstellen wir eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
	74	<br>
	75	Wir wissen, dass 20% der Besucher Snowboard fahren. Das heißt, wir tragen ein:
	76	<br>
	77	(%class="border" style="width:30%" %)
	78	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
	79	\|{{formula}}S{{/formula}}\|\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	80	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|\|\|
	81	\|\|\|\|{{formula}}1{{/formula}}
	82
	83	Weiterhin wissen wir, dass 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
	84	<br>
	85	Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}. Umstellen liefert:
	86	{{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}.
	87	<br>
	88	Zudem können 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}.
	89	Somit:
	90	(%class="border" style="width:30%" %)
	91	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
	92	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	93	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|
	94	\|\|\|\|{{formula}}1{{/formula}}
	95
	96	Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhalten wir schließlich:
	97	(%class="border" style="width:30%" %)
	98	\| \|{{formula}}A{{/formula}}\|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}\|
	99	\|{{formula}}S{{/formula}}\|{{formula}}0{,}08{{/formula}}\|\|{{formula}}0{,}2{{/formula}}
	100	\|{{formula}}\overline{S}{{/formula}}\|{{formula}}0{,}75{{/formula}}\|{{formula}}0{,}05{{/formula}}\|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
	101	\|\|{{formula}}0{,}83{{/formula}}\|\|{{formula}}1{{/formula}}
	102
3.1	103	Wir lesen ab: {{formula}}P(A)=0{,}83, \quad P(B)=P(A\cap \overline{S})=0{,}75{{/formula}}
2.1	104	<br>
	105	und berechnen
	106	{{formula}}
	107	P(C)=P_A(S)=\frac{P(A\cap S)}{P(A)}=\frac{0{,}08}{0{,}83}\approx0{,}096
	108	{{/formula}}
	109	{{/detail}}
	110
	111	=== Teilaufgabe c) ===
1.1	112	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}{{formula}}
	113	\mu-\frac{\sigma}{2}=19{,}75{{/formula}} und {{formula}}
	114	\mu+\frac{\sigma}{2}=25{,}25
	115	{{/formula}}
	116	<br>
	117	{{formula}}
	118	P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383
	119	{{/formula}}
	120	{{/detail}}
	121
2.1	122
	123	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	124	//Aufgabenstellung//
	125	<br><p>
	126	Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
	127	</p>
	128	//Lösung//
	129	<br>
3.1	130	Wir bestimmen die beiden Intervallgrenzen:
	131	<br>
	132	{{formula}}\mu-\frac{\sigma}{2}=22{,}5-2{,}75=19{,}75{{/formula}} und
	133	<br> {{formula}}
	134	\mu+\frac{\sigma}{2}=22{,}5+2{,}75=25{,}25
	135	{{/formula}}
	136	<p></p>
3.3	137	Mit dem WTR berechnen wir mit Normal CD:
3.1	138	{{formula}}P(19{,}75\le X\le25{,}25)\approx0{,}383{{/formula}}
2.1	139	{{/detail}}
	140
1.1	141	=== Teilaufgabe d)===
	142	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	143	{{formula}}
	144	P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
	145	{{/formula}}
	146	<br>
	147	Aus Symmetriegründen gilt:
	148	{{formula}}
	149	P(22{,}5\le Y\le22{,}5+a)=0{,}175
	150	{{/formula}}
	151	<br>
	152	Mit dem WTR ergibt sich
	153	{{formula}}
	154	a\approx2{,}5
	155	{{/formula}}
	156	{{/detail}}
	157
2.1	158
	159	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	160	//Aufgabenstellung//
	161	<br><p>
	162	Für ein {{formula}} a>0 {{/formula}} liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall {{formula}} [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] {{/formula}}.
	163	<br>
	164	Ermittle den Wert von {{formula}} a {{/formula}} auf eine Nachkommastelle genau.
	165	</p>
	166	//Lösung//
	167	<br>
3.1	168	Es gilt {{formula}}
	169	P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
	170	{{/formula}}
	171	<br>
	172	Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
	173	<br>
	174	{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
	175	<br>
	176	Weiterhin gilt
	177	<br>
	178	{{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
	179	<br>
	180	Somit ist
	181	<br>
	182	{{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
	183	<p></p>
3.2	184	Mit dem WTR erhalten wir nun über die Inverse Normalverteilung als obere Grenze:
3.1	185	{{formula}}x_{oben}\approx24{,}996{{/formula}}
	186	<br>
	187	Damit erhalten wir {{formula}}a=x_{oben}-22,5\approx 2{,}5{{/formula}}.
2.1	188	{{/detail}}
	189
1.1	190	=== Teilaufgabe e) ===
	191	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
	192	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
	193	<br>
	194	③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
	195	<br>
	196	Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
	197
	198	<p></p>
	199	{{formula}}
	200	P(③)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot0{,}4\cdot p+0{,}6\cdot0{,}3\cdot0{,}4
	201	=0{,}168\cdot p+0{,}072
	202	{{/formula}}
	203	<br>
	204	{{formula}}
	205	P(Ⅲ)=0{,}6\cdot0{,}7\cdot(1-p)=0{,}42-0{,}42\cdot p
	206	{{/formula}}
	207	<br>
	208	{{formula}}
	209	P(③)>P(Ⅲ) \Leftrightarrow
3.1	210	0{,}168\cdot p+0{,}072>0{,}42-0{,}42\cdot p \Leftrightarrow p >\frac{29}{49}\approx0{,}592
1.1	211	{{/formula}}
	212	{{/detail}}
2.1	213
	214
	215	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
	216	//Aufgabenstellung//
	217	<br><p>
	218	Berechne, welchen Wert {{formula}} p {{/formula}} mindestens hat.
	219	</p>
	220	//Lösung//
	221	<br>
3.1	222	Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
	223	<br>
	224	③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
	225	<br>
	226	Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
	227	<p></p>
	228	Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage, wenn man die Besucher betrachtet, die genau eine Liftfahrt machen:
	229	<br>
4.1	230	Weg 1: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{p}}{\to} \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{0{,}4}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
3.1	231	<br>
4.1	232	mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}
	233	<br>
	234	Weg 2: {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}3}}{\to} \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \underset{\small{1-0{,}6}}{\to} \text{Piste ③}{{/formula}}
	235	<br>
3.1	236	mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 2}) = 0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6)= 0{,}072{{/formula}}
5.1	237	<br>
3.1	238	Insgesamt ergibt sich damit {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})
	239	=0{,}168\cdot p+0{,}072{{/formula}}
	240
	241	<p></p>
	242	Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
	243	{{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
	244	<br>
	245	mit {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p) = 0{,}42 - 0{,}42p{{/formula}}
	246	<p></p>
	247	Da wir durch die Aufgabenstellung wissen, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Besucher über Piste ③ ankommen, höher ist, ergibt sich:
	248	<br>
	249	{{formula}}
	250	\begin{align*}
	251	P(③)&>P(Ⅲ) \\
	252	\Leftrightarrow
	253	0{,}168\cdot p+0{,}072&>0{,}42-0{,}42 \cdot p && \mid -0{,}072+0{,}42p \\
	254	\Leftrightarrow 0{,}588p&>0{,}348 &&\mid :0{,}588 \\
	255	\Leftrightarrow \qquad \ p &>\frac{29}{49}\approx0{,}592
	256	\end{align*}
	257	{{/formula}}
2.1	258	{{/detail}}