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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Version 6.1 von akukin am 2026/01/11 14:38
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1 == 1.1 ==
2 === Teilaufgabe a) ===
3 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
4 Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
5 <br>
6 Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
7 <br>
8 Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 Mögliche Argumente:
14 <br>
15 * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
16 <br>
17 (Die Funktion {{formula}}g(x){{/formula}} besitzt die doppelten Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}})
18 <br>
19 * Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
20 <br>
21 (Die Nullstellen {{formula}}x=2{{/formula}} und {{formula}}x=-2{{/formula}} sind symmetrisch zur y-Achse)
22 * Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
23 <br>
24 (Die Funktion {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots{{/formula}} besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten {{formula}}>0{{/formula}}. Somit gilt {{formula}}g(x)\rightarrow \infty{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow \pm \infty{{/formula}})
25 {{/detail}}
26
27 === Teilaufgabe b) ===
28 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}
30 {{/detail}}
31
32
33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34 Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
35 Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
36 {{/detail}}
37
38 === Teilaufgabe c) ===
39 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
40 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
41 <br>
42 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
43 <br><p>
44 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
45 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
46 {{/formula}}
47 </p>
48 Damit: {{formula}}
49 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
50 {{/formula}}
51 {{/detail}}
52
53
54 == 1.2 ==
55 === Teilaufgabe a) ===
56 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
57 [[image:1.2a.png||width="300"]]
58 {{/detail}}
59
60
61 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
62
63 {{/detail}}
64
65 === Teilaufgabe b) ===
66 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
67 {{formula}}
68 t(x) = -4x + 2\pi + 4
69 {{/formula}}
70 <br>
71 {{formula}}
72 t'(x) = -4
73 {{/formula}}
74 <br>
75 {{formula}}
76 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
77 {{/formula}}
78 <br>
79 {{formula}}
80 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
81 {{/formula}}
82 <br>
83 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
84 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
85 {{/formula}}
86 {{/detail}}
87
88
89 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
90
91 {{/detail}}
92
93 === Teilaufgabe c) ===
94 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
95 Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}}
96 h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
97 {{/formula}}
98 <br>
99 Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}}
100 y = -4\sin(u)\cdot x + b
101 {{/formula}}
102 <br>
103 Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}}
104 b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
105 {{/formula}}
106 <br>
107 {{formula}}
108 b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
109 {{/formula}}
110 <br><p>
111 {{formula}}
112 b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
113 {{/formula}}
114 </p>
115 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
116 {{/detail}}
117
118
119 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
120
121 {{/detail}}
122
123 == 1.3 ==
124 === Teilaufgabe a) ===
125 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
126 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
127 <br><p>
128 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
129 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
130 </p>
131 Daher {{formula}}
132 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
133 {{/formula}}.
134 {{/detail}}
135
136
137 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
138
139 {{/detail}}
140
141 === Teilaufgabe b) ===
142 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
143 {{formula}}
144 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
145 \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
146 {{/formula}}
147 <br>
148 liefert
149 <br>
150 {{formula}}
151 n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
152 {{/formula}}
153 <br>
154 Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
155 {{/detail}}
156
157
158 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
159
160 {{/detail}}
161