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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2025/12/29 18:49
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1 == 1.1 ==
2 === Teilaufgabe a) ===
3 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
4 Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
5 <br>
6 Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
7 <br>
8 Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
9 {{/detail}}
10
11
12 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13
14 {{/detail}}
15
16 === Teilaufgabe b) ===
17 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
18 {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}
19 {{/detail}}
20
21
22 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
23
24 {{/detail}}
25
26 === Teilaufgabe c) ===
27 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
28 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
29 <br>
30 Daraus ergibt sich der Ansatz: {{formula}}y = b \cdot x^2 + 2 {{/formula}}
31 <br><p>
32 Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: {{formula}}
33 0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}
34 {{/formula}}
35 </p>
36 Damit: {{formula}}
37 y = -\frac{1}{2}x^2 + 2
38 {{/formula}}
39 {{/detail}}
40
41
42 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
43
44 {{/detail}}
45
46 == 1.2 ==
47 === Teilaufgabe a) ===
48 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
49 [[image:1.2a.png||width="300"]]
50 {{/detail}}
51
52
53 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
54
55 {{/detail}}
56
57 === Teilaufgabe b) ===
58 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
59 {{formula}}
60 t(x) = -4x + 2\pi + 4
61 {{/formula}}
62 <br>
63 {{formula}}
64 t'(x) = -4
65 {{/formula}}
66 <br>
67 {{formula}}
68 h'(x) = -4 \cdot \sin(x)
69 {{/formula}}
70 <br>
71 {{formula}}
72 h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)
73 {{/formula}}
74 <br>
75 Damit ist {{formula}}t{{/formula}} Tangente an {{formula}}K_h{{/formula}} im Punkt {{formula}}
76 P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)
77 {{/formula}}
78 {{/detail}}
79
80
81 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
82
83 {{/detail}}
84
85 === Teilaufgabe c) ===
86 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
87 Steigung der Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: {{formula}}
88 h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
89 {{/formula}}
90 <br>
91 Damit Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: {{formula}}
92 y = -4\sin(u)\cdot x + b
93 {{/formula}}
94 <br>
95 Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: {{formula}}
96 b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
97 {{/formula}}
98 <br>
99 {{formula}}
100 b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
101 {{/formula}}
102 <br><p>
103 {{formula}}
104 b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
105 {{/formula}}
106 </p>
107 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
108 {{/detail}}
109
110
111 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
112
113 {{/detail}}
114
115 == 1.3 ==
116 === Teilaufgabe a) ===
117 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
118 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
119 <br><p>
120 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
121 {{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
122 </p>
123 Daher {{formula}}
124 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
125 {{/formula}}.
126 {{/detail}}
127
128
129 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
130
131 {{/detail}}
132
133 === Teilaufgabe b) ===
134 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
135 {{formula}}
136 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \
137 \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}
138 {{/formula}}
139 <br>
140 liefert
141 <br>
142 {{formula}}
143 n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98
144 {{/formula}}
145 <br>
146 Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
147 {{/detail}}
148
149
150 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
151
152 {{/detail}}
153