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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 2.2 von akukin am 2026/01/14 10:11
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
4 <p></p>
5 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 Da die {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente des Richtungsvektors von {{formula}}g{{/formula}} 0 ist, ist {{formula}}g{{/formula}} parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}. Daher existieren nur zwei Spurpunkte.
11 <p></p>
12 Den ersten Spurpunkt erhalten wir, indem wir die erste Geradenzeile gleich 0 setzen und nach {{formula}}r{{/formula}} auflösen:
13 <br>
14 {{formula}}0=-1+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow 1=r{{/formula}}
15 <br>
16 Nun setzen wir {{formula}}r=1{{/formula}} in die Geradengleichung ein, um den Spurpunkt zu erhalten:
17 <br>
18 {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\-2 \\ 6 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{23}(0 \mid -2 \mid 6){{/formula}}
19 <p></p>
20 Analog ergibt sich der zweite Spurpunkt, indem wir die dritte Geradenzeile gleich 0 setzen:
21 <br>
22 {{formula}}0=5+r\cdot 1 \ \Leftrightarrow -5=r{{/formula}}.
23 <br>
24 {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 5 \end{pmatrix} + (-5) \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -6 \\-2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad \rightarrow \ S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
25 <p></p>
26 Die Koordinaten der Spurpunkte lauten somit
27 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}},
28 {{/detail}}
29
30 === Teilaufgabe b) ===
31 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
32 <p>
33 {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
34 \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
35 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
36 {{/formula}}
37 </p>
38 Das LGS
39 {{formula}}
40 \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
41 {{/formula}}
42 hat keine Lösung.
43 <br>
44 Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
45 {{/detail}}
46
47
48 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49
50 {{/detail}}
51
52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 Eine mögliche Lösung ist {{formula}}E: \ \vec x =
55 \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
56 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
57 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
58 {{/formula}}
59 {{/detail}}
60
61
62 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
63
64 {{/detail}}
65
66 === Teilaufgabe d) ===
67 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
68 Der Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} an.
69 {{/detail}}
70
71
72 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
73
74 {{/detail}}
75
76 === Teilaufgabe e) ===
77 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
78 Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
79 <br>
80 {{formula}}
81 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
82 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
83 \Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
84 {{/formula}}
85 <p>
86 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
87 Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
88 </p>
89 Hinweis:
90 Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
91 {{/detail}}
92
93
94 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
95
96 {{/detail}}