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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/02 19:40
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 <p>
4 {{formula}}g{{/formula}} ist parallel zur x,,1,,x,,3,,-Ebene, daher nur zwei Spurpunkte:
5 </p>
6 {{formula}}S_{23}(0 \mid -2 \mid 6), \quad S_{12}(-6 \mid -2 \mid 0){{/formula}}
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11
12 {{/detail}}
13
14 === Teilaufgabe b) ===
15 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
16 <p>
17 {{formula}}h: \ \vec x =\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot
18 \begin{pmatrix}-4\\2\\-4
19 \end{pmatrix}, \ r \in \mathbb{R}
20 {{/formula}}
21 </p>
22 Das LGS
23 {{formula}}
24 \begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-1\\4\end{pmatrix} + r \cdot\begin{pmatrix}-4\\2\\-4\end{pmatrix}
25 {{/formula}}
26 hat keine Lösung.
27 <br>
28 Die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren keine Vielfachen sind. Somit sind die Geraden windschief.
29 {{/detail}}
30
31
32 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
33
34 {{/detail}}
35
36 === Teilaufgabe c) ===
37 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
38 Eine mögliche Lösung ist {{formula}}E: \ \vec x =
39 \begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}+ r \cdot
40 \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} + s \cdot
41 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}; \ r, s \in \mathbb{R}
42 {{/formula}}
43 {{/detail}}
44
45
46 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
47
48 {{/detail}}
49
50 === Teilaufgabe d) ===
51 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
52 Der Term gibt den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}}ABC{{/formula}} an.
53 {{/detail}}
54
55
56 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
57
58 {{/detail}}
59
60 === Teilaufgabe e) ===
61 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
62 Auf der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}} hat nur ihr Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} denselben Abstand von {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}}.
63 <br>
64 {{formula}}
65 \overrightarrow{OM}= \overrightarrow{OA}+\frac{1}{2} \cdot \overrightarrow{AC}=
66 \begin{pmatrix}2{,}5\\1\\3\end{pmatrix}, \
67 \Bigl| \overrightarrow{AM} \Bigr|+ \Bigl| \overrightarrow{MB} \Bigr|+\Bigl| \overrightarrow{CM} \Bigr|=\sqrt{11{,}25}
68 {{/formula}}
69 <p>
70 Somit haben alle drei Punkte den gleichen Abstand vom Mittelpunkt der Hypotenuse {{formula}}AC{{/formula}}.
71 Sie liegen deshalb auf einem Kreis mit diesem Punkt als Mittelpunkt.
72 </p>
73 Hinweis:
74 Eine Argumentation mit dem Thaleskreis ist ebenso zulässig.
75 {{/detail}}
76
77
78 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79
80 {{/detail}}