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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 4.1 von akukin am 2026/01/14 22:17
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:Lösunga).png||width="250"]]
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
9 <br>
10 [[image:Lösunga).png||width="250"]]
11 {{/detail}}
12
13 === Teilaufgabe b) ===
14 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
15 {{formula}}\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \
16 \overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \
17 \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},
18 {{/formula}}
19 also sind {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} parallel.
20 <br>
21 Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
22 {{/detail}}
23
24
25 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
26 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
27 <br>
28 Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
29 <br>
30 {{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
31 \overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
32 <br>
33 Da
34 {{formula}}
35 \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
36 {{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
37 <br>
38 Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
39 {{/detail}}
40
41 === Teilaufgabe c) ===
42 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
43 <p>
44 {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
45 orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
46 </p>
47 {{formula}}
48 \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
49 \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
50 \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
51 \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \
52 \Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ
53 {{/formula}}
54 <br>
55 Die Behauptung ist falsch.
56 {{/detail}}
57
58
59 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
60
61 {{/detail}}
62
63 === Teilaufgabe d) ===
64 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
65 Die Stäbe verbinden die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}}.
66 Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.
67 {{/detail}}
68
69
70 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71
72 {{/detail}}
73
74 === Teilaufgabe e) ===
75 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
76 <p>
77 Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
78 {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
79 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
80 {{/formula}}.
81 Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
82 {{formula}}
83 P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4
84 {{/formula}}.
85 </p>
86 {{formula}}
87 \Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \
88 \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} =
89 \sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}
90 {{/formula}}
91 <br>
92 Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
93 {{/detail}}
94
95
96 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
97
98 {{/detail}}