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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/02 19:53
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:Lösunga).png||width="250"]]
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8
9 {{/detail}}
10
11 === Teilaufgabe b) ===
12 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
13 {{formula}}\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \
14 \overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \
15 \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},
16 {{/formula}}
17 also sind {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} parallel.
18 <br>
19 Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
24
25 {{/detail}}
26
27 === Teilaufgabe c) ===
28 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
29 <p>
30 {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
31 orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die x,,1,,x,,2,,-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
32 </p>
33 {{formula}}
34 \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
35 \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
36 \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
37 \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \
38 \Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ
39 {{/formula}}
40 <br>
41 Die Behauptung ist falsch.
42 {{/detail}}
43
44
45 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
46
47 {{/detail}}
48
49 === Teilaufgabe d) ===
50 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
51 Die Stäbe verbinden die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}}.
52 Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.
53 {{/detail}}
54
55
56 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
57
58 {{/detail}}
59
60 === Teilaufgabe e) ===
61 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
62 <p>
63 Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
64 {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
65 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
66 {{/formula}}.
67 Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
68 {{formula}}
69 P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4
70 {{/formula}}.
71 </p>
72 {{formula}}
73 \Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \
74 \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} =
75 \sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}
76 {{/formula}}
77 <br>
78 Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
79 {{/detail}}
80
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82 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
83
84 {{/detail}}