Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/02 18:08
Zeige letzte Bearbeiter
1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:Lösunga).png||width="250"]]
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Zeichne den Lampenschirm in ein Koordinatensystem ein.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br><p>
14 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
15 <br>
16 [[image:Lösunga).png||width="250"]]
17 {{/detail}}
18
19 === Teilaufgabe b) ===
20 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
21 {{formula}}\overrightarrow{AD} =\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \
22 \overrightarrow{EH} =\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}, \
23 \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH},
24 {{/formula}}
25 also sind {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} parallel.
26 <br>
27 Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
28 {{/detail}}
29
30
31 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
32 //Aufgabenstellung//
33 <br><p>
34 Zeige, dass die Seitenfläche {{formula}} ADHE {{/formula}} ein Trapez ist.
35 </p>
36 //Lösung//
37 <br><p>
38 Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
39 <br>
40 Anhand der Skizze lässt sich erkennen, dass die Seiten {{formula}}AD{{/formula}} und {{formula}}EH{{/formula}} parallel sind. Um dies mathematisch zu zeigen, zeigen wir, dass die beiden Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{EH}{{/formula}} Vielfache von einander sind:
41 <br>
42 {{formula}}\overrightarrow{AD}=\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}, \quad
43 \overrightarrow{EH}=\begin{pmatrix}1\\3\\8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\1\\8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
44 <br>
45 Da
46 {{formula}}
47 \overrightarrow{AD} = 2 \cdot \overrightarrow{EH}
48 {{/formula}} gilt, sind die beiden Vektoren Vielfache von einander und somit parallel.
49 <br>
50 Damit ist das Viereck {{formula}}ADHE{{/formula}} ein Trapez.
51 {{/detail}}
52
53 === Teilaufgabe c) ===
54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 <p>
56 {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}; {{/formula}}
57 orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
58 </p>
59 {{formula}}
60 \cos(\alpha)= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
61 \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
62 \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
63 \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|} \
64 \Rightarrow \alpha \approx 79{,}98^\circ
65 {{/formula}}
66 <br>
67 Die Behauptung ist falsch.
68 {{/detail}}
69
70
71 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
72 //Aufgabenstellung//
73 <br><p>
74 Beurteile die folgende Aussage: Die Kante {{formula}} BF {{/formula}} schließt mit der {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene einen Winkel von mehr als {{formula}} 81^\circ {{/formula}} ein.
75 </p>
76 //Lösung//
77 <br><p>
78 {{formula}}\overrightarrow{BF} =\begin{pmatrix}3-4\\1-0\\8-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}{{/formula}}
79 <br>
80 Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzen: {{formula}}\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix} {{/formula}}
81 <br>
82 Mit der Formel aus der Merkhilfe berechnen wir den Winkel zwischen den beiden Vektoren:
83 <br>
84 {{formula}}
85 \begin{align*}
86 \cos(\alpha) &= \frac{\left|\overrightarrow{BF} \cdot
87 \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}{
88 \Bigl| \overrightarrow{BF} \Bigr| \cdot
89 \left|\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}\right|}
90 = \frac{\begin{pmatrix}-1\\1\\8\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}{\sqrt{(-1)^2+1^2+8^2} \cdot
91 \sqrt{(-1)^2+1^2+0^2}}\\
92 &= \frac{(-1)\cdot (-1)+1\cdot 1+8\cdot 0}{\sqrt{66} \cdot \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{132}} \\
93 \Leftrightarrow \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{132}}\right)\approx 79{,}98^\circ
94 \end{align*}
95 {{/formula}}
96 {{/detail}}
97
98 === Teilaufgabe d) ===
99 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
100 Die Stäbe verbinden die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}}.
101 Es soll überprüft werden, ob sich die Stäbe kreuzen.
102 {{/detail}}
103
104
105 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
106 //Aufgabenstellung//
107 <br><p>
108 Zur Stabilisierung sollen im Inneren des Lampenschirms dünne Stäbe angebracht werden.
109 <br>
110 Formuliere in dieser Anwendungssituation eine Aufgabenstellung, die sich mit folgendem Ansatz lösen lässt:
111 <br>
112 {{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ -3 \\ 8 \end{pmatrix}; \ s,t \in [0;1] {{/formula}}
113 </p>
114 //Lösung//
115 <br><p>
116 Die linke Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OB}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{BH}{{/formula}}). Durch die Gerade wird der Stab dargestellt, der die beiden Punkte verbindet.
117 <br>
118 Die rechte Seite der Gleichung beschreibt die Gerade durch {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} (Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OC}{{/formula}}, Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{CE}{{/formula}}).
119 <br>
120 Durch das Gleichsetzen der beiden Geraden soll überprüft werden, ob sich die Stäbe, die die Punkte {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} bzw. {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} verbinden, kreuzen.
121 {{/detail}}
122
123 === Teilaufgabe e) ===
124 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
125 Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
126 {{formula}}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}
127 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}
128 {{/formula}}.
129 Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
130 {{formula}}
131 P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4
132 {{/formula}}.
133 </p>
134 {{formula}}
135 \Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \ \Leftrightarrow \
136 \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} =
137 \sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} \ \Leftrightarrow \ t = \frac{29}{8}
138 {{/formula}}
139 <br>
140 Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
141 {{/detail}}
142
143
144 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
145 //Aufgabenstellung//
146 <br><p>
147 Im Lampenschirm soll eine LED-Lampe installiert werden. Diese soll von allen Eckpunkten den gleichen Abstand haben. Die LED-Lampe wird vereinfacht als punktförmig angenommen.
148 <br>
149 Bestimme die Koordinaten dieses Punktes.
150 </p>
151 //Lösung//
152 <br><p>
153 Der Mittelpunkt der unteren Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} lautet {{formula}}M_{unten}(2|2|0){{/formula}}.
154 <br>
155 Der Punkt, der von den Eckpunkten des Lampenschirms den gleichen Abstand hat, liegt aus Symmetriegründen auf der Geraden durch den Punkt
156 {{formula}}M_{unten}(2 \mid 2 \mid 0){{/formula}} mit Richtungsvektor {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}{{/formula}}.
157 <br>
158 Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben also die Form
159 {{formula}}
160 P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 8
161 {{/formula}}.
162 <br>
163 //Anmerkung: Aufgrund der Symmetrie des Lampenschirmes könnten wir an dieser Stelle {{formula}}t{{/formula}} direkt bis {{formula}}4{{/formula}} begrenzen statt bis {{formula}}8{{/formula}}, also {{formula}}0 \le t \le 4{{/formula}}.//
164 <p></p>
165 Wir suchen nun das {{formula}}t{{/formula}}, für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}):
166 <br>
167 {{formula}}
168 \begin{align*}
169 & \phantom{\Leftrightarrow} &\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| &= \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr| \\
170 & \Leftrightarrow &\left|\begin{pmatrix}2\\2\\t\end{pmatrix}\right| &= \left|\begin{pmatrix}1\\1\\t-8\end{pmatrix}\right| \\
171 & \Leftrightarrow & \sqrt{2^2 + 2^2 + t^2} &=\sqrt{1^2 + 1^2 + (t - 8)^2} &&\mid ()^2\\
172 & \Leftrightarrow & 2^2 + 2^2 + t^2 &=1^2 + 1^2 + (t - 8)^2 &&\mid \text{2. binomische Formel}\\
173 & \Leftrightarrow & 8+t^2 &=2+t^2-16t+64 &&\mid -t^2 \\
174 & \Leftrightarrow & 8 &=-16t+66 &&\mid +16t \ \mid -8 \\
175 & \Leftrightarrow & 16t &=58 &&\mid :16 \\
176 & \Leftrightarrow & t&= \frac{58}{16}=\frac{29}{8}
177 \end{align*}
178 {{/formula}}
179 <br>
180 Aus Symmetriegründen sind dann auch alle Abstände zu den anderen Eckpunkten gleich. Die LED-Lampe muss im Punkt {{formula}}\left(2 \mid 2 \mid \frac{29}{8}\right){{/formula}} befestigt werden.
181 {{/detail}}