Tipp Lineare Algebra

=== Teilaufgabe a) ===

Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.

4

5

6

=== Teilaufgabe b) ===

7

8

Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.

Was muss für die beiden Verbindungsvektoren gelten damit zwei Seiten parallel zu einander sind?

Um zu zeigen, dass zwei Seiten parallel zu einander sind, musst du zeigen, dass die beiden beiden Verbindungsvektoren Vielfache von einander sind.

19

20

21

=== Teilaufgabe c) ===

22

23

Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhältst du, indem du die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzt.

Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren findest du in der Merkhilfe.

29

30

31

=== Teilaufgabe d) ===

32

33

Deute beide Seiten der Gleichung geometrisch.

Beide Seiten der Gleichung beschreiben jeweils eine Gerade. Überlege, durch welche Punkte die Geraden jeweils gehen.

Überlege, wonach man sucht, wenn man zwei Geraden gleichsetzt, und welche geometrische Bedeutung das Ergebnis hat.

44

45

46

=== Teilaufgabe e) ===

47

48

Ein Punkt, der zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand hat, liegt aufgrund der Symmetrie auf der senkrechten Geraden durch den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}}.

Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben die Form

54

55

P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4

{{/formula}}.

Wir suchen das {{formula}}t{{/formula}}, für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}).

Es muss gelten

\Bigl| \overrightarrow{AP} \Bigr| = \Bigl| \overrightarrow{EP} \Bigr|{{/formula}}

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		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Hinweis"}}
		3	Beachte beim Zeichne, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
		4	{{/detail}}
		5
		6	=== Teilaufgabe b) ===
		7	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		8	Ein Trapez ist ein Viereck mit einem Paar paralleler Seiten.
		9	{{/detail}}
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		13	Was muss für die beiden Verbindungsvektoren gelten damit zwei Seiten parallel zu einander sind?
		14	{{/detail}}
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		18	Um zu zeigen, dass zwei Seiten parallel zu einander sind, musst du zeigen, dass die beiden beiden Verbindungsvektoren Vielfache von einander sind.
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		20
		21	=== Teilaufgabe c) ===
		22	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		23	Die orthogonale Projektion von {{formula}}\overrightarrow{BF}{{/formula}} auf die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene erhältst du, indem du die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate gleich null setzt.
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		26
		27	{{detail summary="Hinweis 2"}}
		28	Die Formel zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren findest du in der Merkhilfe.
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		30
		31	=== Teilaufgabe d) ===
		32	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		33	Deute beide Seiten der Gleichung geometrisch.
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		35
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		38	Beide Seiten der Gleichung beschreiben jeweils eine Gerade. Überlege, durch welche Punkte die Geraden jeweils gehen.
		39	{{/detail}}
		40
		41
		42	{{detail summary="Hinweis 3"}}
		43	Überlege, wonach man sucht, wenn man zwei Geraden gleichsetzt, und welche geometrische Bedeutung das Ergebnis hat.
		44	{{/detail}}
		45
		46	=== Teilaufgabe e) ===
		47	{{detail summary="Hinweis 1"}}
		48	Ein Punkt, der zu allen Eckpunkten den gleichen Abstand hat, liegt aufgrund der Symmetrie auf der senkrechten Geraden durch den Mittelpunkt der quadratischen Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}}.
		49	{{/detail}}
		50
		51
		52	{{detail summary="Hinweis 2"}}
		53	Die Koordinaten des gesuchten Punktes {{formula}}P{{/formula}} haben die Form
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		55	P(2 \mid 2 \mid t), \ 0 \le t \le 4
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		61	Wir suchen das {{formula}}t{{/formula}}, für das der Abstand zu einer unteren Ecke (z.B. {{formula}}A{{/formula}}) exakt so groß ist wie zu einer oberen Ecke (z.B. {{formula}}E{{/formula}}).
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