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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

Version 4.1 von akukin am 2026/01/13 10:24
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 [[image:Lösunga).png||width="150" style="float: right"]]
4 <p>
5 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
6 </p><p>
7 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
8 </p><p>
9 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
10 </p>
11 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
12 {{/detail}}
13
14
15 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
16 {{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
17 <br>
18 [[image:Lösunga).png||width="150"]]
19 <p></p>
20 {{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
21 </p><p>
22 {{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
23 </p>
24 Mindestens zwei bedeutet {{formula}}X\geq 2{{/formula}}. Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:
25 <br>
26 {{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
27 {{/detail}}
28
29 === Teilaufgabe b) ===
30 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
31 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
32 <br>
33 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
34 {{/detail}}
35
36
37 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
38 Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um ein Gegenereignis, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
39 <br>
40 Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
41 <br>
42 Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
43 <p></p>
44 Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:
45 <br>
46 Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
47 <br>
48 {{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
49 {{/detail}}
50
51
52 === Teilaufgabe c) ===
53 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
54 Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
55 <br>
56 {{formula}}E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
57 und
58 {{formula}}\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
59 <br>
60 {{formula}}
61 E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
62 {{/formula}}
63 <br>
64 Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
65 {{/detail}}
66
67
68 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69
70 {{/detail}}
71
72 === Teilaufgabe d) ===
73 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
74 {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
75 <br><p>
76 {{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
77 </p>
78 Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
79 <br>
80 {{formula}}
81 P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01
82 {{/formula}}
83 <br>
84 (% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
85 |{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
86 |29|0,018
87 |30|0,008
88
89 Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
90 {{/detail}}
91
92
93 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
94
95 {{/detail}}