Lösung Stochastik

Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.

59

60

Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.

61

62

Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.

63

64

Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:

65

66

Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.

67

68

{{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.

69

70

71

=== Teilaufgabe c) ===

72

73

Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.

74

75

{{formula}}E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}

76

und

77

{{formula}}\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}

78

79

80

E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159

81

82

83

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.

//Aufgabenstellung//

Die Verbraucherzentrale kontrolliert stichprobenartig das Gewicht der Frühlingsrollen. Dazu werden in einer Stichprobe 1500 Frühlingsrollen untersucht. Es erfolgt eine Beanstandung, wenn die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der zu leichten Frühlingsrollen um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.

91

Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Beanstandung.

//Lösung//

Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.

96

97

Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.

98

99

Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}

100

101

Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}

102

103

Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:

104

105

106

E(X) + \sigma \approx 269{,}55

107

108

109

Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.

110

111

Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:

112

{{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159

113

114

115

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.

116

117

118

=== Teilaufgabe d) ===

119

120

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten

121

122

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.

123

124

Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:

125

126

127

P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01

128

129

130

(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)

131

|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}

|29|0,018

|30|0,008

Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.

//Aufgabenstellung//

Ermittle die Anzahl an Frühlingsrollen, die man mindestens kaufen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 20 Frühlingsrollen erhält, die das vorgegebene Gewicht einhalten.

//Lösung//

{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten

147

148

{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.

149

150

Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:

\begin{align*}

P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\

155

\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\

156

\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\

157

\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01

\end{align*}

//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//

162

163

Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:

164

165

(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)

166

|{{formula}}n{{/formula}}|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}

|29|0,018

|30|0,008

Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.

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Wiki-Quellcode von Lösung Stochastik

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author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		3	[[image:Lösunga).png\|\|width="150"]]
		4	<p>
		5	{{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
		6	</p><p>
		7	{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
		8	</p><p>
		9	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
		10	</p>
		11	{{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
		12	{{/detail}}
		13
		14
		15	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		16	//Aufgabenstellung//
		17	<br><p>
		18	Es werden drei Frühlingsrollen bestellt. Dabei soll untersucht werden, wie viele Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
		19	<br>
		20	Stelle den Sachverhalt durch ein geeignetes beschriftetes Baumdiagramm dar.
		21	<br>
		22	Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Frühlingsrollen das vorgegebene Gewicht unterschreiten.
		23	</p>
		24	//Lösung//
		25	<br>
		26	{{formula}}G{{/formula}}: Das vorgeschriebene Gewicht wird eingehalten.
		27	<br>
		28	[[image:Lösunga).png\|\|width="150"]]
		29	<p></p>
		30	{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten
		31	</p><p>
		32	{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 3{{/formula}}.
		33	</p>
		34	Mindestens zwei bedeutet {{formula}}X\geq 2{{/formula}}. Mit dem Taschenrechner (binomialcdf) berechnen wir:
		35	<br>
		36	{{formula}}P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) \approx 1 - 0{,}923 = 0{,}077{{/formula}}
		37	{{/detail}}
		38
		39	=== Teilaufgabe b) ===
		40	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		41	Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
		42	<br>
		43	{{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
		44	{{/detail}}
		45
		46
		47	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		48	//Aufgabenstellung//
		49	<br><p>
		50	Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses {{formula}}A{{/formula}} lässt sich wie folgt berechnen:
		51	<br>
		52	{{formula}} P(A)=1-0,\!83^{20} {{/formula}}
		53	<br>
		54	Beschreibe in der Anwendungssituation ein passendes Zufallsexperiment sowie ein mögliches Ereignis {{formula}}A{{/formula}}.
		55	</p>
		56	//Lösung//
		57	<br>
		58	Bei der gegebenen Wahrscheinlichkeit handelt sich um die Wahrscheinlichkeit eines Gegenereignisses, das heißt {{formula}}P(A)=1-P(\overline{A}){{/formula}} mit {{formula}}P(\overline{A})=0{,}83^{20}{{/formula}}.
		59	<br>
		60	Mit {{formula}}0{,}83^{20}{{/formula}} wird die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass bei 20 bestellten Frühlingsrollen alle das vorgegebene Gewicht einhalten.
		61	<br>
		62	Das Gegenereignis dazu ist, dass mindestens eine Frühlingsrolle das vorgegebene Gewicht unterschreitet.
		63	<p></p>
		64	Somit lautet ein passendes Zufallsexperiment mit möglichem Ereignis {{formula}}A{{/formula}}:
		65	<br>
		66	Es werden 20 Frühlingsrollen bestellt.
		67	<br>
		68	{{formula}}A{{/formula}}: Davon unterschreitet mindestens eine das vorgegebene Gewicht.
		69	{{/detail}}
		70
		71	=== Teilaufgabe c) ===
		72	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		73	Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
		74	<br>
		75	{{formula}}E(X) = 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
		76	und
		77	{{formula}}\sigma = \sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
		78	<br>
		79	{{formula}}
		80	E(X) + \sigma \approx 269{,}55; \ \ P(X \ge 270) = 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
		81	{{/formula}}
		82	<br>
		83	Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
		84	{{/detail}}
		85
		86
		87	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		88	//Aufgabenstellung//
		89	<br><p>
		90	Die Verbraucherzentrale kontrolliert stichprobenartig das Gewicht der Frühlingsrollen. Dazu werden in einer Stichprobe 1500 Frühlingsrollen untersucht. Es erfolgt eine Beanstandung, wenn die in der Stichprobe ermittelte Anzahl der zu leichten Frühlingsrollen um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
		91	Bestimme die Wahrscheinlichkeit für eine Beanstandung.
		92	</p>
		93	//Lösung//
		94	<br>
		95	Die Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht unterschreiten, ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}17{{/formula}} und {{formula}}n = 1500{{/formula}}.
		96	<br>
		97	Die Formeln für den Erwartungswert und die Standardabweichung finden sich in der Merkhilfe.
		98	<br>
		99	Erwartungswert: {{formula}}E(X) = \mu=n\cdot p= 1500 \cdot 0{,}17 = 255{{/formula}}
		100	<br>
		101	Standardabweichung: {{formula}}\sigma = \sqrt{n\cdot p\cdot (1-p)}=\sqrt{1500 \cdot 0{,}17 \cdot 0{,}83} \approx 14{,}55{{/formula}}
		102	<p></p>
		103	Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass {{formula}}X{{/formula}} um mehr als eine Standardabweichung nach oben vom Erwartungswert abweicht:
		104	<br>
		105	{{formula}}
		106	E(X) + \sigma \approx 269{,}55
		107	{{/formula}}
		108	<br>
		109	Da die Anzahl ganzzahlig sein muss, lautet die gesuchte Wahrscheinlichkeit also {{formula}}P(X \ge 270){{/formula}}.
		110	<br>
		111	Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
		112	{{formula}}P(X \ge 270)= 1 - P(X \le 269) \approx 1 - 0{,}841 \approx 0{,}159
		113	{{/formula}}
		114	<br>
		115	Mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 15,9 % wird die Stichprobe beanstandet.
		116	{{/detail}}
		117
		118	=== Teilaufgabe d) ===
		119	{{detail summary="Erwartungshorizont"}}
		120	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
		121	<br><p>
		122	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
		123	</p>
		124	Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
		125	<br>
		126	{{formula}}
		127	P(Z \ge 20) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) \ge 0{,}99 \ \Leftrightarrow \ P(Z \le 19) \le 0{,}01
		128	{{/formula}}
		129	<br>
		130	(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
		131	\|{{formula}}n{{/formula}}\|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
		132	\|29\|0,018
		133	\|30\|0,008
		134
		135	Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
		136	{{/detail}}
		137
		138
		139	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		140	//Aufgabenstellung//
		141	<br><p>
		142	Ermittle die Anzahl an Frühlingsrollen, die man mindestens kaufen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99% mindestens 20 Frühlingsrollen erhält, die das vorgegebene Gewicht einhalten.
		143	</p>
		144	//Lösung//
		145	<br>
		146	{{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Frühlingsrollen, die das vorgegebene Gewicht einhalten
		147	<br><p>
		148	{{formula}}Z{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}p = 0{,}83{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}n{{/formula}}.
		149	</p>
		150	Gesucht ist das minimale {{formula}}n{{/formula}}, so dass gilt:
		151	<br>
		152	{{formula}}
		153	\begin{align*}
		154	P(Z \ge 20) &\ge 0{,}99 \\
		155	\Leftrightarrow \ 1 - P(Z \le 19) &\ge 0{,}99 &&\mid -1 \\
		156	\Leftrightarrow \ \ \ -P(Z \le 19) &\le -0{,}01 &&\mid \cdot (-1) \\
		157	\Leftrightarrow \qquad P(Z \le 19) &\ge 0{,}01
		158	\end{align*}
		159	{{/formula}}
		160	<br>
		161	//(beachte, dass sich beim Multiplizieren mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umdreht)//
		162	<br>
		163	Systematisches Ausprobieren/Wertetabelle mit dem Taschenrechner (binomialcdf) ergibt:
		164
		165	(% class="border" style="width:30%; text-align:center" %)
		166	\|{{formula}}n{{/formula}}\|{{formula}}P(Z \le 19){{/formula}}
		167	\|29\|0,018
		168	\|30\|0,008
		169
		170	Man muss mindestens 30 Frühlingsrollen kaufen.
		171	{{/detail}}

unfertig	fertig
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