BPE 2 Einheitsübergreifend

{{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}

Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.

5

6

(% style="list-style: alphastyle" %)

7

1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.

8

1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.

9

1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.

10

1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.

11

12

13

{{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}

14

Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.

15

16

(% style="list-style: alphastyle" %)

17

1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.

18

1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.

19

1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3{{/formula}} graphisch.

20

1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).

21

22

23

{{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}

24

Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)

25

nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben

26

27

|=Zeit|2|4|6|8|10|12|

28

|=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|

29

30

(% style="list-style: alphastyle" %)

31

1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.

32

1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.

33

34

35

{{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}

36

Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.

37

38

|=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936

39

|=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252

40

|=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000

41

42

a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.

43

b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.

44

45

46

{{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}

47

48

Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?

49

[[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]

50

51

Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.

52

53

54

**Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen

55

Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:

56

57

Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle

58

Ida: Näherungsweise graphische Lösung

59

Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)

{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}

65

Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.

66

67

Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.

\begin{align*}

y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\

72

x=\sqrt{y}\;\;

73

74

Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.

y=\sqrt{x}

\end{align*}

(% class="abc" %)

1. Bestimme nun die an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Funktionen für folgende Beispiele: (i) {{formula}}f(x)=2x{{/formula}}, (ii) {{formula}}g(x)=(x+1)^2{{/formula}}, (iii) {{formula}}h(x)=x^3{{/formula}}.

82

1. Zeichne außerdem die gespiegelten Graphen und überprüfe, wie sich diese zur Winkelhalbierenden verhalten.

83

1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}} für {{formula}}y=f(x){{/formula}} und beschreibe, was dir auffällt.

84

1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).

85

[[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]

86

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88

{{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden (alt)" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder" zeit="12" cc="BY-SA"}}

89

Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.

\begin{align*}

y=x^2 \;\; | \,\sqrt{\phantomtext}\\

94

x=\sqrt{y}\;\;

95

96

Vertausche x und y miteinander um die Funktionsgleichung des gespiegelten Funktionsgraphens zu erhalten.

y=\sqrt{x}

\end{align*}

(% class="abc" %)

1. Bestimme die an der ersten Winkelhabierenden gespiegelten Funktionen {{formula}} f(x)=\frac{1}{x}; g(x)= \frac{1}{x^2} {{/formula}} und {{formula}} h(x)= \frac{2\,x+3}{-4\,x-2}{{/formula}}. Hinweis: {{formula}}x >0{{/formula}}

104

1. Bestimme graphisch den an der ersten Winkelhalbierenden gespiegelten Graphen zu den drei dargestellten Graphen.

105

1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man auch Umkehrfunktionen (Abkürzung {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ) . Berechne den Funktionsterm {{formula}} f^{-1}(f(x)){{/formula}}. Beschreibe deine Beobachtung. Hinweis: Setze dazu den Term der Funktionsgleichung {{formula}}f(x){{/formula}} in die in a) berechnete Umkehrfunktion {{formula}} f^{-1}{{/formula}} ein und fasse zusammen.

106

1. Begründe mit Hilfe deiner Lösungen von a) und b) wieso der Definitionsbereich der Funktion {{formula}} f

107

{{/formula}} verkleinert werden muss, wenn man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion berechnet.

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		7	1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
		8	1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
		9	1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
		10	1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
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		14	Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
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		16	(% style="list-style: alphastyle" %)
		17	1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
		18	1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
		19	1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}\sqrt{-x+1} = -\sqrt{x+5}+3{{/formula}} graphisch.
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		24	Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
		25	nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
		26
		27	\|=Zeit\|2\|4\|6\|8\|10\|12\|
		28	\|=Menge\|1,7\|1,5\|1,2\|1,0\|1,0\|0,8\|
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		31	1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
		32	1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
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		36	Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
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		38	\|=Jahr\|1930\|1931\|1932\|1933\|1934\|1935\|1936
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		42	a) Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
		43	b) Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
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		46	{{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
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		51	Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
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		54	Variante: Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
		55	Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
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		57	Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
		58	Ida: Näherungsweise graphische Lösung
		59	Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
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		65	Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen an den Achsen gibt es eine besondere Transformation, die in ihrer Bedeutung oft übersehen wird: die Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden, d.h., an der Geraden mit Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Transformation ist weit mehr als eine Spielerei, denn sie führt auf die Umkehrung der Funktion.
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		67	Betrachten wir dafür zunächst ein Beispiel. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
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		83	1. Die in a) berechneten Funktionen nennt man Umkehrfunktionen ({{formula}}f^{-1}{{/formula}}). Untersuche den Ausdruck {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}} für {{formula}}y=f(x){{/formula}} und beschreibe, was dir auffällt.
		84	1. Abschließend stellt sich die Frage: Warum muss der Definitionsbereich der Funktion //f// verkleinert werden, wenn die Umkehrfunktion berechnet wird? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
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		89	Neben der Spiegelung an der x- und y- Achse kann man auch an der ersten Winkelhalbierenden (gegeben durch y=x) einen Funktionsgraphen spiegeln. Für alle Funktionen schränkt man den Definitionsbereich auf {{formula}}x> 0{{/formula}} ein. Wieso dies sinnvoll ist wird später klar. Um die Funktionsgleichung nach Spiegelung rechnerisch zu ermitteln nimmt man die Funktionsgleichung, z.B. {{formula}} y=x^2{{/formula}}, löst diese nach x auf und vertauscht anschließend die Variablen so erhält man den gespiegelten Funktionsgraphen mit passender Funktionsgleichung.
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