Zum Inhalt springen

Wiki-Quellcode von BPE 2 Einheitsübergreifend

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/12 20:03
Zeige letzte Bearbeiter
1 {{seiteninhalt/}}
2
3 {{aufgabe id="Arithmagon Darstellungsformen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="10"}}
4 (% class="abc" %)
5 1. (((Fülle in folgenden Darstellungsformen einer Parabel die Lücken.
6 [[image:Arithmagon Potenzfunktionen Formen.svg||width="500"]]
7 )))
8 1. (((Nenne die Werte der charakteristischen Größen der Parabel:
9 1. (((
10 (% class="border" %)
11 |**Lage der Parabel** |Achsenabschnitt |Schnitt-, Scheitelpunkt
12 |y-Achse |{{formula}}c=\qquad{{/formula}} |{{formula}}S_y(\qquad|\qquad){{/formula}}
13 |x-Achse | |{{formula}}N_1(\qquad|\qquad),\quad N_2(\qquad|\qquad){{/formula}}
14 |Symmetrieachse |{{formula}}x={{/formula}} |
15 |Scheitel |{{formula}}x_S={{/formula}} |{{formula}}S(\qquad|\qquad){{/formula}}
16 )))
17 1. (((
18 (% class="border" %)
19 |**Kovariation des quadratischen Zusammenhangs** | Parameterwert bzw. Beschreibung
20 |Monotonie |
21 |Steigung an der Stelle {{formula}}x=0{{/formula}} |{{formula}}b={{/formula}}
22 |Krümmung |{{formula}}a={{/formula}}
23 )))
24 )))
25 {{/aufgabe}}
26
27 {{aufgabe id="Formen von Parabelgleichungen" afb="II" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
28 (((In der Literatur werden folgende Formen der Parabelgleichung unterschieden, wobei {{formula}}S(x_S|y_S){{/formula}} der Scheitel der Parabel sei; vgl. Merkhilfe, S. 3.
29 (% class="border" %)
30 |Scheitelform |{{formula}}y=a(x-x_S)^2 + y_S{{/formula}}
31 |Hauptform |{{formula}}y=ax^2+bx+c{{/formula}}
32 |Produktform |{{formula}}y=a(x-x_1)(x-x_2){{/formula}}
33 |Gestreckte Normalform |{{formula}}}y=a(x^2+px+q){{/formula}}
34 )))
35 (% class="abc" %)
36 1. //Formen untersuchen//. Bestimme für jede Gleichungsform, welche charakteristischen Größen der Parabel sich direkt ablesen lassen; siehe hierzu das vorausgegangene Arithmagon.
37 1. //Formeln entdecken//. Untersuche die Gleichungsformen im Hinblick auf Zusammenhänge; instruktiv ist der //Koeffizientenvergleich// mit der "Gestreckten Normalform".
38 1. (((//Formeln untersuchen//. Folgende Tabelle gibt einen Überblick über Beziehungen zwischen den Parametern, wobei die Kurz-Bezeichnung {{formula}}}y_S^*=\frac{y_S}{a}{{/formula}} verwendet wurde. Welche Zusammenhänge zwischen den tabellierten Beziehungen lassen sich schnell erkennen?
39 (% class="border" %)
40 |Nr. |Von |Zu |Parameter 1 |Parameter 2
41 |1 |Scheitelform |Gestreckte Normalform |{{formula}}p = -2x_S{{/formula}} |{{formula}}q = x_S^2 + y_S^*{{/formula}}
42 |2 |Gestreckte Normalform |Scheitelform |{{formula}}x_S = -\frac{p}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{p^2}{4} + q{{/formula}}
43 |3 |Scheitelform |Produktform |{{formula}}x_1 = x_S - \sqrt{-y_S^*}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = x_S + \sqrt{-y_S^*}{{/formula}}
44 |4 |Gestreckte Normalform |Produktform |{{formula}}x_1 = -\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}} |{{formula}}x_2 = -\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^2}{4} - q}{{/formula}}
45 |5 |Produktform |Gestreckte Normalform |{{formula}}p = -(x_1 + x_2){{/formula}} |{{formula}}q = x_1 x_2{{/formula}}
46 |6 |Produktform |Scheitelform |{{formula}}x_S = \frac{x_1 + x_2}{2}{{/formula}} |{{formula}}y_S^* = -\frac{(x_2 - x_1)^2}{4}{{/formula}}
47 )))
48 1. (((//Formeln anwenden//. Ergänze die Leerstellen in folgender Tabelle.
49 (% class="border" %)
50 |Nr. |Gestreckte Normalform |Scheitelform |Produktform
51 |1 |{{formula}}y = x^2 - 4x + 3{{/formula}} | |
52 |2 | |{{formula}}y = (x - 1)^2 + 4{{/formula}} |
53 |3 | | |{{formula}}y = (x + 2)(x + 2){{/formula}}
54 |4 |{{formula}}y = -(x^2 - 4x + 1){{/formula}} | |
55 |5 | |{{formula}}y = -\pi(x - \pi)^2{{/formula}} |
56 |6 | | |{{formula}}y = -(x + 1 - \sqrt{2})(x + 1 + \sqrt{2}){{/formula}}
57 |7 |{{formula}}y = 2(x^2 + 2x + 5){{/formula}} | |
58 |8 | |{{formula}}y = -\frac{3}{2}(x - 2)^2{{/formula}} |
59 |9 | | |{{formula}}y = \sqrt{2}(x - 2)(x - 3){{/formula}}
60 )))
61 1. //Formeln begründen//. Zeige einige der oben tabellierten Beziehungen zwischen den Parametern.
62 {{/aufgabe}}
63
64 {{aufgabe id="Weg zur Schule" afb="I" kompetenzen="K1,K3,K4" quelle="Ute Jutt, Ronja Franke" cc="BY-SA" zeit="20"}}
65 Kay möchte die Laufzeit für den Weg vom Bahnhof zur Schule berechnen. Die Laufzeit wird modelliert durch die Funktion {{formula}}t{{/formula}} mit {{formula}}t(v)= \frac{d}{v}{{/formula}} (Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/min; Entfernung {{formula}}d{{/formula}} in km; Laufzeit {{formula}}t(v){{/formula}} in min). Eine Messung hat ergeben, dass die Schule vom Bahnhof 5 km entfernt liegt.
66
67 (% class="abc" %)
68 1. Erstelle die Funktion {{formula}}t{{/formula}}, die die benötigte Zeit in Minuten in Abhängigkeit von der Geschwindigkeit {{formula}}v{{/formula}} in km/h beschreibt.
69 1. Bestimme die Definitionslücke der Funktion {{formula}}t{{/formula}}.
70 1. Erläutere, warum es in diesem Kontext sinnvoll ist, eine Definitionslücke zu haben.
71 1. Zeichne den Graphen der Funktion {{formula}}t{{/formula}} und markiere die Definitionslücke.
72 {{/aufgabe}}
73
74 {{aufgabe id="Potenzgleichungen lösen - graphisch und rechnerisch" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K4,K5" quelle="Martin Stern, Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
75 Gegeben sind die Funktionen //f// und //g// mit den Funktionsgleichungen {{formula}}f(x)=\sqrt{-x+1}{{/formula}} und {{formula}} g(x)=-\sqrt{x+5}+3 {{/formula}}.
76
77 (% class="abc" %)
78 1. Gib jeweils die maximale Defintionsmenge und den zugehörigen Wertebereich an.
79 1. Zeichne die Funktionsgraphen zu den Funktionen in ein gemeinsammes Koordinatensystem im Intervall {{formula}}[-6; +2]{{/formula}}.
80 1. Bestimme die Lösungen der Wurzelgleichung {{formula}}f(x) = g(x){{/formula}} graphisch.
81 1. Berechne die Lösungen und vergleiche deine berechneten Lösungen mit den graphischen Lösungen aus c).
82 {{/aufgabe}}
83
84 {{aufgabe id="Lineare Regression" afb="II" zeit="10" kompetenzen="K3, K4, K5" quelle="Universität Köln Dr.C.Lange" cc="BY-SA"}}
85 Nachfolgend ist die Menge freier Chlorreste in ppm (parts per million) in Schwimmbecken als Funktion der Zeit (in Stunden)
86 nach der Behandlung mit Chemikalien angegeben
87
88 |=Zeit|2|4|6|8|10|12|
89 |=Menge|1,7|1,5|1,2|1,0|1,0|0,8|
90
91 (% class="abc" %)
92 1. Bestimme mit Hilfe des Taschenrechners eine Ausgleichsgerade für die gegebenen Messwerte. Notiere auch den Korrelationskoeffizienten r.
93 1. Berechne mit Hilfe deiner Ausgleichsgeraden einen Näherungswert zum Zeitpunkt 7 Stunden nach dem Messbeginn.
94 {{/aufgabe}}
95
96 {{aufgabe id="Korrelation" afb="II" zeit="15" kompetenzen="K1, K3, K5" quelle="Niklas Wunder" cc="BY-SA"}}
97 Die Tabelle gibt Daten aus seriösen Quellen über die Anzahl der Storchenpaare und die Einwohneranzahl in den Jahren 1930 bis 1936 in Oldenburg wieder.
98
99 |=Jahr|1930|1931|1932|1933|1934|1935|1936
100 |=Anzahl der Storchenpaare|132|142|166|188|240|250|252
101 |=Anzahl der Einwohner|55400|55400|65000|67700|69800|72300|76000
102
103 (% class="abc" %)
104 1. Bestimme die Ausgleichsgerade zwischen Storchenpaaren und Einwohnerzahlen sowie den Korrelationskoeffizienten.
105 1. Alex behauptet, dass die Störche hauptsächlich für den Einwohnerzuwachs in Oldenburg verantwortlich waren. Nimm dazu begründet Stellung und beziehe den in a) berechneten Korrelationskoeffizienten in deine Begründung mit ein.
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Füllstände" afb="III" zeit="25" kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Problemlösegruppe" cc="BY-SA"}}
109
110 Die beiden abgebildeten Gefäße werden mit Wasser gefüllt. Ist es möglich, dass bei gleichem Füllstand genau gleich viel Wasser in den Gefäßen ist?
111 [[image:Füllstände Gefäße.PNG||width="400"]]
112
113 Finde gegebenenfalls diesen Füllstand und das zugehörige Wasservolumen heraus.
114
115 {{lehrende}}
116 **Variante:** Kleinere Klassenarbeitsaufgabe, Vergleich von Strategien/Lösungen
117 Ani, Ida und Ivo haben diese Fragestellung auf unterschiedliche Art bearbeitet:
118
119 Ani: Systematisches Probieren/Herantasten mithilfe einer Tabelle/Wertetabelle
120 Ida: Näherungsweise graphische Lösung
121 Ivo: Algebraisches Lösen einer Gleichung (Gleichsetzen des Volumens eines Kegels mit dem eines Dreiecksprismas)
122 {{/lehrende}}
123 {{/aufgabe}}
124
125
126 {{aufgabe id="Spiegeln an der Winkelhalbierenden" afb="III" kompetenzen="K4" quelle="Niklas Wunder, Martin Rathgeb" zeit="12" cc="BY-SA"}}
127 Graphische Transformationen gehören zu den Grundwerkzeugen der Mathematik. Neben der Verschiebung und der Streckung in Richtung einer Koordinatenachse bzw. der Spiegelung an einer Koordinatenachse gibt es eine weitere besondere Transformation, nämlich die //Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden//, das ist die Gerade mit der Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}. Diese Spiegelung bewirkt den Koordinatentausch {{formula}}(x|y)\mapsto (y|x){{/formula}}, d.h., die Umkehrung {{formula}}y\mapsto x{{/formula}} der Zuordnung {{formula}}x\mapsto y{{/formula}}.
128 Dazu drei Beispiele: Das Spiegelbild der positiv orientierten x-Achse ({{formula}}y=0{{/formula}}, ein Funktionsgraph) ist die positiv orientierte y-Achse ({{formula}}x=0{{/formula}}, kein Funktionsgraph); das Spiegelbild der positiv orientierten y-Achse wiederum ist die positiv orientierte x-Achse; das Spiegelbild der Normalparabel ({{formula}}y=x^2{{/formula}}, ein Funktionsgraph) sind die beiden Wurzeläste ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}) zusammengenommen (kein Funktionsgraph). Betrachten wir das dritte Beispiel genauer: Um aus der Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} rechnerisch die Gleichung {{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}} zu ermitteln, löst man zunächst die Gleichung {{formula}}y=x^2{{/formula}} nach {{formula}}x{{/formula}} auf und tauscht dann in der erhaltenen Gleichung {{formula}}x=\pm \sqrt{y}{{/formula}} noch die Variablen gegeneinander aus ({{formula}}y=\pm \sqrt{x}{{/formula}}).
129
130 Betrachte nun die folgenden drei Gleichungen zu den nachfolgenden Funktionsgraphen: {{formula}}y=2x{{/formula}}, {{formula}}y=(x+2)^2{{/formula}} und {{formula}}y=x^3{{/formula}}.
131 [[image:Einheitsuebergreifend2.png||width="400px"]]
132
133 (% class="abc" %)
134 1. Löse die Gleichungen jeweils nach {{formula}}x{{/formula}} auf; du erhältst damit für {{formula}}x{{/formula}} einen Funktionsterm {{formula}}x(y){{/formula}} in {{formula}}y{{/formula}}.
135 1. Führe in den in a) berechneten Termen {{formula}}x(y){{/formula}} den Variablentausch durch, zeichne die Graphen der Umkehrungen zusätzlich ins Koordinatensystem ein und untersuche, wie die Paare von Graphen zur ersten Winkelhalbierenden liegen.
136 1. Die in a) berechneten Terme {{formula}}x(y){{/formula}} sind insbesondere in Monotonieintervallen von {{formula}}f{{/formula}} Funktionsterme von Umkehrfunktionen {{formula}}f^{-1}{{/formula}}. Untersuche die Ausdrücke {{formula}}f^{-1}(y){{/formula}}, indem du {{formula}}f(x){{/formula}} für {{formula}}y{{/formula}} einsetzt, und beschreibe, was dir (an der jeweiligen Vereinfachung) auffällt.
137 1. Abschließend stellt sich die Frage: Weshalb der Definitionsbereich der Funktionen {{formula}}f{{/formula}} (z.B. auf ein Monotonieintervall) verkleinert werden muss, um eine Umkehrfunktion zu erhalten? Begründe diese Einschränkung mit den Ergebnissen aus a) und b).
138 {{/aufgabe}}
139
140 {{matrix/}}