Lösung Probe Wurzelgleichungen
Version 20.1 von Niklas Wunder am 2024/10/14 10:28
a) Man errechnet
\[\begin{align*}
\sqrt{x+4}=x-2 \;\; | \,^2 \\
x+4=(x-2)^2\\
x+4=x^2-4x+4 \;\; | \,-x-4\\
0=x^2-5x=x\cdot(x-5)
\end{align*}\]
Somit folgt mit dem Lemma vom Nullprodukt (Satz vom Nullprodukt), dass \( x_1=0 \) und \( x_2=5 \) mögliche Lösungen der Gleichung sind. Die Probe der beiden Lösungen liefert
1.Fall \( x_1=0 \)
\( \sqrt{x_1+4}=\sqrt{0+4}=2=0-2=x_1-2 \)
liefert eine wahre Aussage, d.h. x_1=0 ist eine Lösung.
1.Fall \( x_1=0 \)
\( \sqrt{x_2+4}=\sqrt{5+4}=3=5-2=x_2-2 \)
liefert eine wahre Aussage, d.h. \(x_2=5\) ist ebenfalls eine Lösung.
Wir erhalten somit die Lösungsmenge \(L=\lbrace 0;\,5\rbrace\)
b)
\[\begin{align*}
d
\end{align*}\]
c)
\[ \begin{align*}
\sqrt{x+27}=6\cdot \sqrt{x-8} \;\; |\,^2 \\
x+27 = 36 \cdot (x-8)
x+27=36\,x- 288\\
35\,x=315 \\
x=9
\end{align*}\]
Die Probe liefert
\(
\sqrt{x+27}=\sqrt{9+27}=\sqrt{36}=6=6\cdot 1=6\cdot \sqrt{9-8}=6\cdot \sqrt{x-8}\,.\)
Die Lösungsmenge ist demnach \( L=\lbrace 9\rbrace \)