Wiki-Quellcode von Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 2

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2024/12/09 00:14

version	line-number	content
1.1	1	a) Da jede reelle Zahl in die Funktion eingesetzt werden kann, ist der maximale Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen, das heißt {{formula}} D = \mathbb{R} {{/formula}}.
4.1	2
1.1	3	Da die Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist, die um zwei nach oben verschoben wurde (siehe Abbildung), ist der Wertebereich {{formula}}[2; \infty[{{/formula}}.
10.1	4	[[image:xquadrat+2.png\|\|width="300" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4.1	5
5.1	6	b) Die Funktion lässt sich als Bruch umschreiben zu {{formula}}f(x)=-(x-5)^{-2}=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}}. Man sieht so, dass an der Stelle {{formula}}x=5{{/formula}} eine Definitionslücke vorliegt, da der Nenner an der Stelle 0 wäre („Man darf nicht durch 0 teilen“). Der maximale Definitionsbereich ist somit die Menge der reellen Zahlen ohne 5, d.h. {{formula}} D= \mathbb{R}\setminus \{5\}{{/formula}}.
4.1	7
11.1	8	Um ausgehend von dem Graphen der Funktion {{formula}}g(x)=\frac{1}{x^2}{{/formula}} den Graphen der Funktion {{formula}}f(x)=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} zu erhalten, spiegelt man den Graphen von {{formula}}g(x){{/formula}} an der x-Achse und verschiebt ihn um 5 nach rechts, wodurch sich folgender Graph ergibt:
10.1	9	[[image:-1_(x-5)hoch2.png\|\|width="300" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4.1	10
11.1	11	Die Wertemenge ist demnach die Menge der negativen reellen zahlen, das heißt {{formula}} W= ]-\infty;0[= \mathbb{R}^*_- {{/formula}}.
5.1	12	Alternativ erhält man die Wertemenge durch Einsetzen möglicher x-Werte des Definitionsbereiches. Man erkennt dabei, dass man nur negative y-Werte erhält, da der Nenner aufgrund des Quadrates für alle x-Werte immer größer als 0 ist und somit {{formula}}\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} auch immer größer als 0 ist. Wegen des negativen Vorzeichens ist somit {{formula}}f(x)=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} immer negativ.
	13
	14	c) Die Funktion lässt sich als Bruch umschreiben zu {{formula}}f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}{{/formula}}. Der einzige x-Wert, für den der Nenner 0 wird, ist {{formula}}x=0{{/formula}}. Der maximale Definitionsbereich ist also {{formula}} D = \mathbb{R}\setminus \{0\}{{/formula}}.
	15
	16	Durch Ausprobieren erkennt man, dass der Funktionswert alle Zahlen außer 0 einnehmen kann.
	17	Der Wertebereich ist also ebenso {{formula}} W = \mathbb{R}\setminus \{0\}{{/formula}}.
8.1	18	[[image:xhoch-3.png\|\|width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
5.1	19