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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2024/12/09 00:14
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1 a) Da jede reelle Zahl in die Funktion eingesetzt werden kann, ist der maximale Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen, das heißt {{formula}} D = \mathbb{R} {{/formula}}.
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3 Da die Funktion eine nach oben geöffnete Parabel ist, die um zwei nach oben verschoben wurde (siehe Abbildung), ist der Wertebereich {{formula}}[2; \infty[{{/formula}}.
4 [[image:xquadrat+2.png||width="300" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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6 b) Die Funktion lässt sich als Bruch umschreiben zu {{formula}}f(x)=-(x-5)^{-2}=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}}. Man sieht so, dass an der Stelle {{formula}}x=5{{/formula}} eine Definitionslücke vorliegt, da der Nenner an der Stelle 0 wäre („Man darf nicht durch 0 teilen“). Der maximale Definitionsbereich ist somit die Menge der reellen Zahlen ohne 5, d.h. {{formula}} D= \mathbb{R}\setminus \{5\}{{/formula}}.
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8 Um ausgehend von dem Graphen der Funktion {{formula}}g(x)=\frac{1}{x^2}{{/formula}} den Graphen der Funktion {{formula}}f(x)=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} zu erhalten, spiegelt man den Graphen von {{formula}}g(x){{/formula}} an der x-Achse und verschiebt ihn um 5 nach rechts, wodurch sich folgender Graph ergibt:
9 [[image:-1_(x-5)hoch2.png||width="300" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
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11 Die Wertemenge ist demnach die Menge der negativen reellen zahlen, das heißt {{formula}} W= ]-\infty;0[= \mathbb{R}^*_- {{/formula}}.
12 Alternativ erhält man die Wertemenge durch Einsetzen möglicher x-Werte des Definitionsbereiches. Man erkennt dabei, dass man nur negative y-Werte erhält, da der Nenner aufgrund des Quadrates für alle x-Werte immer größer als 0 ist und somit {{formula}}\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} auch immer größer als 0 ist. Wegen des negativen Vorzeichens ist somit {{formula}}f(x)=-\frac{1}{(x-5)^2}{{/formula}} immer negativ.
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14 c) Die Funktion lässt sich als Bruch umschreiben zu {{formula}}f(x)=x^{-3}=\frac{1}{x^3}{{/formula}}. Der einzige x-Wert, für den der Nenner 0 wird, ist {{formula}}x=0{{/formula}}. Der maximale Definitionsbereich ist also {{formula}} D = \mathbb{R}\setminus \{0\}{{/formula}}.
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16 Durch Ausprobieren erkennt man, dass der Funktionswert alle Zahlen außer 0 einnehmen kann.
17 Der Wertebereich ist also ebenso {{formula}} W = \mathbb{R}\setminus \{0\}{{/formula}}.
18 [[image:xhoch-3.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]