Lösung Darstellungsformen umwandeln

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/02/17 16:22

a) $f(x)=-\frac{1}{16}\cdot (x-2)^2\cdot (x-8)$
$f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^2-4x+4)\cdot (x-8)$
$f(x)= -\frac{1}{16}\cdot (x^3-12\,x^2+36\,x-32)$
$f(x)= -\frac{1}{16}\,x^3+\frac{3}{4}\,x^2-\frac{9}{4}\,x+2$

b) $f(x)=(x-3)\cdot(x^2+3x+9)$
$f(x)=x^3+3x^2+9\,x-3\,x^2-9\,x-27$
f(x)=x^3-27

c) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die 3) taucht auch als Faktor in der Produktform auf. Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die beiden möglichen Produktformen $f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7)$ oder $f(x)= 3\cdot (x-2)\cdot (x-7)^2$ für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die drei Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit 3 gerade -84 ergeben. Daraus erhält man die beiden (Un)gleichungen $3\cdot (-2)^2\cdot(-7)=-84$ und $3\cdot -2\cdot(-7)^2=-294\neq -84$ . Die erste Form ist die Richtige und damit $f(x)= 3\cdot (x-2)^2\cdot (x-7)$

d) Der Faktor vor der höchsten Potenz (hier die -2) taucht auch als Faktor in der Produktform auf. Aus den Nullstellen der Funktion ergeben sich die drei möglichen Produktformen $f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3)$ oder $f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)^2\cdot (x-3)$ oder $f(x)= -2\cdot (x+2)\cdot (x-1)\cdot (x-3)^2$ für die Funktion f. Wenn man die Produktform ausmultipliziert müssen die vier Zahlen in den Klammern (die doppelte Nullstelle nimmt man zweimal) multipliziert mit -2 gerade -24 ergeben. Daraus erhält man die drei Gleichungen $-2\cdot 2^2\cdot(-1)\cdot(-3)=-24=-24$ und $-2\cdot 2\cdot(-1)^2\cdot(-3)=12\neq-24$ und $-2\cdot 2\cdot(-1)\cdot(-3)^2=36\neq-24$ . Die erste Form ist die Richtige und damit $f(x)= -2\cdot (x+2)^2\cdot (x-1)\cdot (x-3)$