Lösung Symmetrie Parameter bestimmen

Bestimme einen Zahlenwert \(a\)  so, dass der Graph symmetrisch zum Koordinatenursprung oder zur y-Achse ist.

Für Achsensymmetrie zur y-Achse gilt: \(f(x)=f(-x)\)
Für Punktsymmetrie zum Ursprung gilt: \(f(x)=-f(-x)\)

Es gibt hier zwei mögliche Herangehensweisen. Man kann es rein rechnerisch angehen, indem man obige Bedingungen prüft. Alternativ kann man die Nullstellen und deren Vielfachheiten heranziehen.

1. \(f(x)=x+a\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=-x+a \neq x+a\) ↯
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+a)=x-a \rightarrow x+a = x-a\) für \(a=0\)

2. \(f(x)=(x+1)(x-a)\)
   Check y-Achse: \(f(-x)=(-x+1)(-x-a) = -(-x+1)(x+a) = (x-1)(x+a) \rightarrow (x+1)(x-a) = (x-1)(x+a)\) für \(a=1\)
   Check Ursprung: \(-f(-x)=-(-x+1)(-x-a) = (-x+1)(x+a) \neq (x+1)(x-a)\)

3. \(f(x)=x(x+a)^2\)
   Die höchste Potenz nachdem ausmultiplizieren ist eine 3, d.h. der Funktionsgraph kann maximal Punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Für \(a=0 \) gilt gerade
   \(f(-x)=-x(-x+0)^2=-x(-x)^2=-x (x)^2 = -x (x+0)^2=-f(x)\)
   und ist damit Achsensymmetrisch zur y-Achse.

4. \(f(x)=x(x^2+a)\)
   Die höchste Potenz nachdem ausmultiplizieren ist eine 3, d.h. der Funktionsgraph kann maximal Punktsymmetrisch zum Ursprung sein. Man errechnet für beliebiges \(a \)
   \(f(-x)=-x((-x)^2+a)=-x(x^2+a)=-f(x)\).
   Der Funktionsgraph ist also für einen beliebigen \(a \) Wert Achsensymmetrisch zur y-Achse, z.B. für \(a=2 \).