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Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2025/04/06 19:41
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1 (% class="abc" %)
2 1. (((
3 1. Aus der Tabelle folgt: {{formula}}f(-3) = 0{{/formula}} und links sowie rechts davon ist {{formula}}f(x) < 0{{/formula}}. Da kein Vorzeichenwechsel stattfindet und laut Aufgabenstellung keine weiteren Nullstellen existieren, handelt es sich bei {{formula}}x = -3{{/formula}} um eine doppelte Nullstelle.
4 1. Bei {{formula}}x = -1{{/formula}} gilt ebenfalls {{formula}}f(x) = 0{{/formula}}, hier wechselt das Vorzeichen aber von negativ zu positiv. Daher liegt eine einfache Nullstelle vor.
5 1. Der Wert {{formula}}f(-4) = -3 < 0{{/formula}} zeigt, dass der Graph links im dritten Quadranten verläuft; {{formula}}f(0) = 9 > 0{{/formula}} belegt den Verlauf in den ersten Quadranten. Die Funktion dritten Grades mit positivem Leitkoeffizienten bestätigt diesen Verlauf.
6 1. Da der Wert {{formula}}f(1){{/formula}} laut Tabelle nicht gegeben ist, bestimmen wir diesen über die Funktionsgleichung. Zunächst ermitteln wir diese in Teilaufgabe 2.
7
8 )))
9 2. Die Nullstellen sind {{formula}}x = -3{{/formula}} (doppelt) und {{formula}}x = -1{{/formula}} (einfach). Ansatz in Produktform:
10 \[
11 f(x) = a(x + 3)^2(x + 1)
12 \]
13 Einsetzen des Punktes {{formula}}f(0) = 9{{/formula}} ergibt:
14 \[
15 f(0) = a \cdot 3^2 \cdot 1 = 9a = 9 \Rightarrow a = 1
16 \]
17 Somit lautet die Funktionsgleichung:
18 \[
19 f(x) = (x + 3)^2(x + 1)
20 \]
21 Einsetzen von {{formula}}x = 1{{/formula}} ergibt:
22 \[
23 f(1) = (1 + 3)^2 \cdot (1 + 1) = 16 \cdot 2 = 32
24 \Rightarrow f(1) \ne -8
25 \]
26 Der Punkt {{formula}}R(1|-8){{/formula}} liegt nicht auf dem Graphen von {{formula}}f{{/formula}}.
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29 (%class=abc%)
30 1. (((
31 1. Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel
32 1. Nullstelle mit Vorzeichenwechsel
33 1. Der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades hat nur zwei Extrempunkte. Einer ist die doppelte NS, der andere ist iwo zwischen den beiden Nullstellen. Für {{formula}}x \rightarrow -\infty{{/formula}} werden die Funktionswerte negativ, für {{formula}}x \rightarrow \infty{{/formula}} positiv.
34 1. Dafür müsste der Funktionsgraph einen weiteren Hochpunkt in der Nähe von //x=0// haben.
35 )))
36 1. (((Ansatz {{formula}}f(x)=a(x+3)^2(x+1){{/formula}}
37 Punktprobe mit {{formula}}(0|9){{/formula}}:
38 {{formula}}f(0)=9 \Rightarrow a\cdot3^2\cdot1=0\Rightarrow a=1{{/formula}}
39 Also: {{formula}}f(x)=(x+3)^2(x+1){{/formula}}
40 )))